Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

Teorema (Herman): ko‘pxilliklarning M vektor maydonlar oilasi bo‘lsin. Agar D oila involyutiv bo‘lsa, u to‘liq integrallanuvchi hisoblanadi.
vektor maydonlarning oilasi quydagi ko‘rinishidagi xususiyatga ega: Har qanday vektor maydonlar uchun funksiyalar mavjud va u quydagi ko‘rinishida:

berilgan misollardan ko‘rinadiki bu oila cheksiz ko‘p vektor maydonlardan iborat bo‘lgan taqdida, bu teorema o‘rinli emas [2].
Demak, biz yuqoridagi teoremani isbotladik

3. 2 §. To‘liq interallanuvchi tekisliklar maydoni geometriyasi
Uch o‘lchamli yevklid fazosida silliq vektor maydonlar oilasini qaraymiz, bu yerda

biz bu oila uchun quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema. Vektor maydonlardan tashkil topgan D oila to‘liq integrallanuvchi tekisliklar maydonini hosil qiladi, uning integral sirtlari giperbolik silindrlar dan, to‘rtta yarim tekislik va Oz o‘qidan iborat.
Isbot: X va Y vektor maydonlarning Li qavsi hisoblaganda u bo‘ladi. Demak Herman teoremasi bo‘yicha D oila to‘liq integralga ega. D oilani hosil qilgan tekisliklar maydonining integral sirtarini topamiz.
Fazoda aniqlangan

funksiyani ko‘rib chiqaylik.
Ushbu funksiya uchun quydagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi
.
Bu tengliklardan ushbu funksiyalarning sath sirtlari tekisliklar maydoni uchun integral sirtlar ekanligi kelib chiqadi.
Bu funksiyaning sath sirtlarini aniqlaymiz:

.
Agar va bo‘lsa, u vaqtda N sirt ikki qismdan iborat bo‘lib, ularning har biri D oila hosil qilgan tekisliklar maydoni uchun integral sirt boladi.
Haqiqatdan ham, bu holatda bo‘lsa

munosabat kelib chiqadi va tenglikdan esa
barcha lar uchun

Tenglik kelib chiqadi.

Agar va c=0 bo‘lsa, u holda sirt D oila hosil qilgan maydonning beshta integral sirtlaridan iborat bo‘ladi.
Koordinata boshi orqali o‘tadigan integral sirt to‘g‘ri chiziq – OZ o‘qi bo‘ladi.
To‘rtta yarim teikisliklar quyidacha aniqlanadi




Demak D oila hosil qilgan tekisliklar maydoni to‘liq integrallanuvchi boladi.