Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

Misol 2.2.4. Agar

bo‘lsa, bu funksiya yuqoridagi shartlarni qanoatlatiradi. Uning sath sirti

_{elliptik parabolid bo‘ladi. Bu} paraboloidlar oilasi uch o‘lchovli yevklid fazosini qoplaydi, o‘zaro kesishmaydi.Yevklid fazosining ixtiyoriy nuqtasida bu qatlamaning biror qatlami o‘tadi, chunki qatlamlar fazoni to‘ldiradi. nuqtadan o‘tuvchi qatlamni kabi belgilaylik. Bu sirtning nuqtadagi urunma tekisligini topamiz:

ekanligini hisobga olsak, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

(2.2.2)
Uch o‘lchamli fazoda tenglikni qanoatlantiuvchi nuqtaga (2.2.2) tekislikni mos qo‘ysak, fazoning har bir nuqtasiga bitta tekislik mos qo‘yilgan bo‘ladi. Shuning uchun bu moslik tekisliklar maydonini hosil qiladi.
Bu teksliklar maydoning integral sirtlari elliptic paraboloidlardan iborat.
Misol 2.2.4 da ikki o`lchovli tekisliklar maydonini qaraymiz:
va
Bu vektor maydonlar fazoning har bir nuqtasiga

Vektorlarni mos qoyadi. Bu vektorlarga qurilgan tekislikni bilan belgilasak, biz

Tekisliklar maydonini hosil qilamiz.
Bu maydon uchun integrallanish shartini tekshiramiz.Buning uchun vektor maydonlarning Li qavslarini hisoblaymiz:

Hosil bolgan vektor maydon madonlar orqali chiziqli ifodalanmaydi.Demak Hermann teoremasiga kora bu maydon integrallanmaydigan tekisliklar maydoniga misol bo`la oladi.
Teorema 2.2.5 Uch o‘lchamli yevklid fazosida vektor maydonlar oilasi berilgan bo‘lsin. U holda, u to‘la integrallanuvchi bo‘lishi uchun, uning involyutiv va rang bo‘yicha invariant bo‘lishi zarur va yetarli.
_Ta’kidlab o‘tamizki, agar vektor maydonlar oilasining integral sirti bo‘lsa, u holda har bir uchun _{vektorlar hosil qilgan tekislikning o‘lchami da sirtning o‘lchamiga teng bo‘ladi. Bu degani, vektorlar hosil qilgan fazoning o‘lchami nuqtadan nuqtaga o‘tganda o‘zgarish holatini mustasno qilmaydi. Bundan ko‘rinadiki, berilgan vektor maydonlar oilasi turli o‘lchamli integral ko‘pxillik bo‘lishi mumkin.
Teorema 2.2.6 - to‘la integrallanuvchi silliq vektor maydonlar oilasi bo‘lsin. U holda, oilaning har bir orbitasi tekisliklar maydonining integral sirti bo‘ladi.}
Agar D silliq vektor maydonlardan iborat bo‘lsa, u holda har bir nuqta uchun vektorlar to‘plami urunma tekisliklar maydonining ochiq to‘plamini hosil qiladi.
Albatta ochiq to‘plamlarning o‘lchamlari har bir nuqtada o‘zgarishi mumkin. Biz bu tekisliklar maydonini ko‘rinishida belgilaymiz.