Mirzo ulug`bek nomidagi o`zbekiston milliy universiteti

Teorema 3.1.2 oila - ko‘pxillikdagi vektor maydonlar oilasi berilgan bo‘lsin. U holda, u to‘la integrallanuvchi bo‘ladi, faqat va faqat involyutiv va rang bo‘yicha invariant bo‘lsa.
_Ta’kidlab o‘tamizki, agar vektor fazolar sistemasi ko‘pxilligi bo‘lsa, u holda har bir uchun _{vektorlar hosil qilgan tekislikning o‘lchami da ko‘pxillikning o‘lchamiga teng bo‘ladi. Bu degani, vektorlar hosil qilgan fazoning o‘lchami nuqtadan nuqtaga o‘tganda o‘zgarish holatini mustasno qilmaydi. Bundan ko‘rinadiki, berilgan vektor maydonlar oilasi turli o‘lchamli integral ko‘pxillik bo‘lishi mumkin.
Teorema 3.1.3 - to‘la integrallanuvchi silliq vektor maydonlar oilasi bo‘lsin. U holda, oilaning har bir orbitasi tekisliklar maydonining integral qism ko‘pxilligi bo‘ladi.
Teorema 3.1.4 sinfdagi ko‘pxillik, sinfdagi ko‘pxillik va vektor maydonlar oilasi yordamida aniqlangan tekisliklar maydoni bo‘lsin. U holda, tekisliklar maydoni to‘la integrallanuvchi bo‘ladi, faqat va faqat ushbu shartlar bajarilsa:
a) har bir nuqta uchun dan olingan vektor maydon-lar topilib, vektor uchun bazis bo‘ladi.
b) har bir uchun son va uzluksiz funksiya topilib, ixtiyoriy da bajariladi, bunda} .
Biz faqat silliq differnsiallanuvchi funksiyalar bilan berilgan vektor maydonlarni o‘rganamiz, ya’ni, − silliq vektor maydon.
Sirtda vektor maydon deb –sirtda − soha, . − urinma vektor mos qo‘yilgan bo‘lsin, ya’ni . vektor maydon sirtda vektor maydon berildi deyiladi.
Agar D silliq vektor maydonlardan iborat bo‘lsa, u holda har bir nuqta uchun vektorlar to‘plami maydonning ba’zi ochiq to‘plamini hosil qiladi.
Albatta keyingi ochiq to‘plamlarning o‘lchamlari har bir nuqtada o‘zgarishi mumkin. Biz bu tekisliklar maydonini ko‘rinishida belgilaymiz.
nuqta uchun biz t=0 da x nuqtadan o‘tadigan X vektor maydonning integral egri chizig‘ini bilan belgilaymiz. belgilanish (kiritish) ba’zi bir joylarda ko‘rinishida beriladi, bu odatda X maydonga va boshlang‘ich x nuqtaga bog‘liq. Keyinchalik formulalarning har bir joyida biz ni qabul qilamiz. Agar yagona X vektor maydoni berilgan bo‘lsa, u holda tekisliklar maydoni hosil bo‘ladi, buning uchun integral egrilanish
integral qism ko‘pxillik bo‘ladi.
Ko‘pgina matematiklar to‘plamlar ustida, to‘plamlarning tuzilishi va silliq vektor maydonlar tizimlari orbitasini uning optimal boshqarish nazariyasi, dinamik tizmlar, geometriya va yaproqlanish nazariyasidagi xususiyatlari bilan bog‘lab o‘rganishgan [1], [3], [4].
X vektor maydon, agar barcha uchun shartlar bajarilsa, u P tekisliklar maydoniga tegishli deyiladi.
Eslatib o‘tamiz, M ko‘pxillikdagi P tekisliklar maydonii bo‘lsa, u holda bo‘ladi, buyerda X,Y vektor maydonlarning Li qavsi deb nomlanadi.
O‘zgarmas o‘lchovli tekisliklar maydonining to‘liq integrallanishi uchun zarur va yetarli shart Frobenius teoremasida berilgan [1] - [3].
O‘zgaruvchan o‘lchamli maydonlarning tekisliklar maydoni uchun Herman tamonidan umumlashtirilgan Frobenius teoremasi chekli sondagi vektor maydonlardan iborat vektor maydonlar oilasining to‘liq integrallanishi uchun zarur va yetarli shartini beradi [1].