Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

Sirt integrallari va ularni hisoblashga doir mashqlar.Skalyar 
va vektor maydonlar. Yo’nalish bo’yicha 
hosila.Gradient.Yuksaklik chiziqlari va sirtlar Orientirlangan 
va orientirlanmagan sirtlar. Vektor chiziqlar. 
§ 13.6. Grin formulasi. Sirt bo’yicha olingan integrallar. Ostrogradskiy va Stoks formulalari 
1
.
Egri chiziqli integralning mexanik ma’nosi 






AB
Rdz
Qdy
Pdx
ko’rinishidagi integral, birlik 
massaning 


R
Q
P
F
;
;
kuch hosil qilgan maydonda

AB
yoy bo’ylab harakat qilishidagi ishini aniqlaydi. 
2
.
To’liq differensial bo’lgan hol. Agar biror (
V
) sohada 
du
Rdz
Qdy
Pdx



bo’lsa, u holda 


A
B
AB
u
u
Rdz
Qdy
Pdx






bo’ladi, ya’ni u 


z
y
x
u
,
,
funksiyaning 
B
va 
A
nuqtalardagi 
qiymatlarining ayirmasiga teng bo’lib, (
V
) sohada olingan integrallash yo’li 
AB
ga bog’liq emas.

















)
(
)
(
C
S
dxdy
y
P
x
Q
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx

funksiyadan (C) yopiq kontur bo’yicha (soat strelkasiga qarshi yo’nalishda) olingan egri chiziqli 
integralni shu kontur bilan almashtiradi. 
3
.
Grin formulasi

















)
(
)
(
C
S
dxdy
y
P
x
Q
Qdy
Pdx
Qdy
Pdx

funksiyadan (C) yopiq kontur bo’yicha (soat strelkasiga qarshi yo’nalishda) olingan egri chiziqli 
integralni shu kontur bilan chegaralangan (S) soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralga almashtiradi. 
4
.
(C) kontur bilan chegaralangan yuz: 


 



C
ydx
xdy
S
2
1
. 
5
.
Ostrogratskiy formulasi quyidagicha yoziladi:


 
 



















S
V
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
ds
R
Q
P



cos
cos
cos
, 

---

bunda 


,
va 

- yopiq 
S
sirt tashqi normalining burchaklaridan, 
V
esa shu sirt bilan chegaralangan 
hajmdan iboratdir. Birinchi integralni 
 




















z
S
z
F
y
x
z
F
R
y
F
Q
x
F
P
ko’rinishda yozish mumkin, 
bunda 


0
,
,

z
y
x
F
- sirtning tenglamasi, 
S
z
esa 
S
ning 
0

z
tekislikdagi proyeksiyasidir. 
6
.
Stoks formulasi quyidagicha yoziladi: 


 
 
ds
R
Q
P
dz
dy
dx
Rdz
Qdy
Pdx
S
C











cos
cos
cos
bunda 

va 
S


sirtga o’tkazilgan normal burchaklaridan iborat bo’lib, u sirtning shunday tomoniga 
yo’naltirilganki, undan 
C
konturni aylanish soat strelkasining yurishiga qarshi ko’rinadi. 
“C” guruh 
13.99. 
A
(2; 2) va 
B
(2; 0) nuqtalar berilgan. 1) 
OA
to’g’ri chiziq ; 2) 
2
2
x
y

parabolaning 

OA
yoyi ; 3) 
OBA
siniq chiziq bo’yicha 


 


C
dx
y
x
hisoblansin. 
13.100. 
A
(4; 2) va 
B
(2; 0) nuqtalar berilgan. 1) 
OA
to’g’ri chiziq ; 2) 
OBA
siniq chiziq bo’yicha 




 



C
xdy
dx
y
x
hisoblansin. 
13.101.13.100- masala 


 


C
xdy
ydx
integral uchun yechilsin. Nima uchun bu yerda integralning qiymati 
integrallash yo’liga bog’liq emas? 
13.102. 
A
(
a
; 0; 0), 
B
(
a
; 
a
; 0) va 
C
(
a
; 
a
; 
a
) nuqtalar berilgan. 
OC
to’g’ri chiziq va 
OABC
siniq chiziq bo’yicha 





xdz
zdy
ydx
integral hisoblansin. 
13.103. Koordinatalari 
x
Q
y
x
P



,
bo’lganda 


Q
P
F
,
kuch maydon hosil qiladi. Tomonlari 
a
x


va 
a
y


dan iborat kvadratning har bir uchida 
F
kuch yasalsin va birlik massa kvadratning 
konturi bo’yicha harakat qilgandagi ish hisoblansin. 
13.104. 


Q
P
F
,
kuch maydon hosil qiladi, bunday 
t
a
y
t
a
x
x
Q
y
x
P
sin
,
cos
,
2
,





aylananing har bir choragi boshida 
F
kuch yasalsin va o’sha aylana bo’yicha birlik massa harakat qilgandagi 
ish hisoblansin. Shu masala 
x
Q
y
x
P



,
hol uchun ham yechilsin. Nima uchun bu yerda ish nolga 
teng? 
13.105. 
 
a
y
F
;
kuch maydon hosil qiladi. 
m
massa 
t
b
y
t
a
x
sin
,
cos


ellipsning birinchi choragi va 
koordinata yarim o’qlaridan iborat kontur bo’yicha harakat qilganidagi ish hisoblansin. 
Quyidagi egri chiziqli integrallarni hisoblang. 
13.106. 


L
y
x
ds
, bu yerda L: 
2
2
1


x
y
to’g’ri chiziqning nuqtalari 
A
(0; -2) va 
B
(4; 0) orasidagi kesma.
13.107. 

L
xyds
, bu yerda L: uchlari 
A
(0; 0), 
B
(4; 0), 
C
(4; 2) va 
D
(0; 2) bo’lgan to’rtburchak.
13.108. 

L
yds
, bu yerda L: 
px
y
2
2

parabolaning 
py
x
2
2

parabola bilan kesilgan yoyi. 
13.109. 




L
n
ds
y
x
2
2
, bu yerda L: 
t
a
y
t
a
x
sin
,
cos


aylana.
13.110. 

L
xyds
, bu yerda L: 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
ellipsning choragi.
13.111. 


 



S
ds
z
y
x



cos
cos
cos
integral, 
a
z
y
x



tekislikning birinchi oktantada yotgan 
qismining ustki sirti bo’yicha hisoblansin. 

---

13.112. 
 






 



S
ds
k
n
z
j
n
y
i
n
x
,
cos
,
cos
,
cos
2
2
2
integral 
2
2
2
2
a
az
y
x



paraboloidning 
ikkinchi oktantada yotgan qismining ustki sirti bo’yicha hisoblansin (bunda 
0
,
0
,
0



z
y
x
). 
13.113. 
2
2
2
2
a
z
y
x



sharning sirti bo’yicha olingan 
 






 



S
ds
k
n
z
j
n
y
i
n
x
,
cos
,
cos
,
cos
integral uchun Ostrogradskiy formulasi yozilsin va tekshirilsin. 
13.114. 
0
,
0
,
0
,
2
2
2
2






z
y
x
a
az
y
x
sirtlar bilan chegralangan jismning birinchi 
oktantada yotgan qismining sirti bo’yicha olingan 
 
 
 


 



S
ds
k
n
r
j
n
y
i
n
x
,
cos
,
cos
,
cos
2
2
2
integral 
uchun Ostrogradskiy formulasi yozilsin va tekshirilsin. 
13.115. Ostrogradskiy formulasida 
z
R
y
Q
x
P



,
,
deb olib, hajm uchun ushbu 


 




S
ds
z
y
x
V



cos
cos
cos
3
1
formula hosil qilinsin. Bu formulaga asosan 
1
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x
ellipsoidning hajmi hisoblansin. 
JAVOBLAR 
13.1. 
ABCD integrallash sohasi 12.1-rasm
2

x
va 
2


x
to’g’ri chiziqlar shuningdek, giperbolaning 
2
1
x
y


va 
2
1
x
y



shoxlari bilan chegaralangan. U holda 


 










2
2
1
1
2
2
,
,
x
x
S
dy
y
x
f
dx
dxdy
y
x
f
. 
13.7 – shakl
13.2. 
4
1
13.3. 
1
2
3



e
e
e
13.4. -2 13.5.
D sohaning Oy o’qdagi aksi 
 
3
;
0
kesmadan iborat. D 
sohaning chap chegarasi 
0

x
to’g’ri chiziq, o’ng chegarasi esa 
2
x
y

yoki 
y
x

paraboladan iborat 
D sohani 2D deb qarasak, u holda 
3
2
3
3
2
3
2
2
3
3
0
2
3
3
0
2
1
3
0
0
3
0
0
3
0












y
dy
y
dy
y
dy
x
dx
dy
S
y
y
yoki 
3
4

S
kv.birlik 
13.6
. Berilgan sohaning Ox o’qdagi aksi 
 
2
;
1
kesmada joylashgan. D soha pastdan 
0

y
to’g’ri chiziq 
yuqoridan 
x
e
y

egri chiziqlar bilan chegaralangan 
kv.birlik
2
2
1
2
1
0
2
1
0
2
1
e
e
e
dx
e
dx
y
dy
dx
dxdy
S
x
x
e
e
D
x
x











