Ostrogradskiy -liuvill formulasi

Ostrogradskiy –Liuvill formulasi
Ostrogradskiy-Liuvill formulasi chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari sistemasining Vronskiy determinanti bilan bu tenglamaning koeffitsientlarini bog’laydi. Bu formulani keltirib chiqarishni ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglama uchun ko’rsatamiz .Tenglamaning ko’rinishi
y’’+a₁(x)y’+a₂(x)y=0.
Agar y₁va y₂ –fundamental sistema bo’lsa , u holda
y’’₁+a₁(x)y’₁+a₂(x)y₁=0
y’’₂+a₁(x)y’₂+a₂(x)y₂=0.
Birinchi tenglikning hadlarini y₂ ga , ikkinchi tenglikning hadlarini y₁ ga ko’paytirib va ikkinchisidan ayirib , topamiz ;
(y₁y’’₂-y’’₁y₂)+a₁(x)(y₁y’₂-y’₁y₂)=0 (26.1)
Bu yerda y₁y’₂-y’₁y₂=y₁ y₂ =W(x)-y₁,y₂ fundamental y
y’₁ y’₂
yechimlar sistemasining Vronskiy determinant. Y₁y’’₂-y’’₁y₂=W’(x)- bu determinantning hosilasi .Demak, (26.1) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi;
W’(x)+a₁(x)W(x)=0 (26. 2)
(26.2) tenglamaning umumiy yechimini o’zgaruvchilarni ajratib topamiz; =-a₁(x)dx, W(x) 0,
Chunki y₁, y₂yechimlar sistemasi fundamentaldir.Integrallaymiz;
W(x)=C (26.3)
Endi (26.2) tenglamaning
W(
Boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topamiz.Ularni (26.3)umumiy yechimga qo’ysak ;
=C x= (26.4)
(26.3) va (26.40