Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Natural ədədlər (müsbət tam ədədlər), onların əksi olan mənfi tam ədədlər və sıfır birlikdə tam ədədlər adlanır.

Tam ədədlər çoxluğunu Z hərfi ilə işarə edirlər:

Z = {...;n;n + 1;...;2;1;0;1;2;...; n; n + 1;...} .

Tam ədədlərə verilən tərifdən aydındır ki, N  Z .

Hər bir müsbət tam ədədədə uyğun yeganə mənfi tam ədəd var. Yəni istənilən müsbət n tam ədədinə uyğun –n

tam ədədi var və

n + (n) = 0 . Bu şərti ödəyən ədədlərə qarşılıqlı əks ədədlər deyirlər. n ədədinin əksi

– n ,  n

ədədinin əksi  (n) = n -dir.

Tam ədədlərin bəzi xassələrini qeyd edək.

1. 
   Tam ədədlər sonsuz çoxdur.
   
2. 
   Tam ədədlər nizamlı çoxluqdur. Yəni istənilən iki a və b tam ədədləri arasında münasibətlərindən yalnız biri ola bilər.
   

İstənilən müsbət a tam ədədi üçün a > 0 , istənilən mənfi a tam ədədi üçün a < 0 .


a = b, a < b, a > b

Mənfi olmayan a tam ədədi üçün a  0 istənilən müsbət olmayan a tam ədədi üçün a  0 .

Əgər a və b tam ədədləri bərabərdirsə, onda onların əksi olan a

onda  a = b .

və  b ədədləri də bərabərdir. Yəni

a = b isə,

3. 
   Tam ədədlər çoxluğunda toplama, vurma, çıxma bölmə hesab əməlləri daxil edilir.
   

Tam ədədlər çoxluğunda toplama, vurma, çıxma hesab əməllərinin nəticəsi də tam ədəddir.

Tam ədədlər üzərində hesab əməllərinin öyrənilməsi üçün əvvəlcə ədədin mütləq qitməti (və ya ədədin modulu) anlyışını daxil edək.

a ədədinin mütləq qitməti (modulu) a kimi işarə edilir və aşağıdakı qayda ilə təyin edilir.

Əgər a  0 olarsa,

a = a , a < 0 olarsa,

a = a . Məsələn, a = 0  0 = 0 ,

a = 3  3 = 3 , a = 3   3 = 3 .

Toplama əməli. İstənilən iki tam ədəd üçün toplama əməli təyin edilmişdir. İstənilən iki a və b tam ədəd ədədlərinin toplanmasının nəticəsi hər hansı c tam ədədinə bərabərdir və c=a+b kimi yazılır. Bu zaman mümkün halların hər birində iki tam ədədin cəmi aşağıdakı kim hesablanır:

əgər a > 0, b > 0 olarsa, c= a + b ; əgər a < 0, b < 0 , c = (a + b );

əgər a > 0, b < 0 və əgər a > 0, b < 0 və əgər a < 0, b > 0 və

a > b olarsa, c = a  b ;

a < b olarsa, c = (b  a );

a = b olarsa, c = 0 ;

əgər a < 0, b < 0 olarsa, c = (a + b ).

Vurma əməli. Tam ədədlər çoxluğunda vurma əməli təyin edilmişdir. İstənilən iki a və b tam ədəd ədədlərinin vurulmasının nəticəsi hər hansı c tam ədədinə bərabərdir və c = a  b kimi yazılır. Bu zaman mümkün halların hər birində iki tam ədədin hasili aşağıdakı kim hesablanır:

əgər a > 0, b > 0 olarsa, c= a  b ;

əgər a < 0, b < 0 , olarsa, c = a  b ;

əgər a > 0, b < 0 və ya a < 0, b > 0 olarsa, c = (a  b );

əgər a = 0 və ya b = 0 olarsa, c = 0 .

Çıxma əməli. Tam ədədlər çoxluğunda çıxma əməli təyin edilmişdir. İstənilən a tam ədədindən istənilən b tam

ədədinin çıxılmasının nəticəsi hər hansı c tam ədədinə bərabərdir, c = a b

c = a  b = a + (b) . Yəni iki tam ədədin fərqi iki tam ədədin cəmi kimi hesablanır.

kimi yazılır və aşağıdakı kim hesablanır:

Bölmə əməli. Tam ədədlər çoxluğunda istənliən iki tam ədəd üçün bölmə əməli təyin edilməmişdir. Natural

ədədlər çoxluğunda olduğu kimi burada da iki hal mümkündür: a) a tam ədədi b tam ədədinə tam (qalıqsız) bölünür; b) a

tam ədədi b tam ədədinə qalıqlı bölünür (tam bölünmür). Əvvəlcə birinci hala baxaq.

a tam ədədini b tam ədədinə tam (qalıqsız) bölmək elə c tam ədədini tapmaq deməkdir ki, b  c = a . Əgər belə c

natural ədədi varsa, onda a tam ədədi bölünən, b tam ədədi bölən, c tam ədədi qismət adlanır. a tam ədədinin b tam ədədinə tam bölünməsi faktını a⋮b kimi işarə etmək qəbul edilmişdir və a tam ədədi b tam ədədinə bölünür kimi oxunur.

Tərif. a tam ədədinin tam bölündüyü tam ədədlərə onun bölənləri deyilir.

Qalıqlı bölmə. a tam ədədi b tam ədədinə tam bölünmədikdə qalıqlı bölmə tətbiq edilir.

a tam ədədini b tam ədədinə bölmək elə q və r ədədlərini tapmaq deməkdir ki,

a = b  q + r bərabərliyi

ödənilsin və

0  r < b . Burada q -yə natamam qismət, r -ə a-nın b-yə bölünməsindən alınan qalıq deyilir.

Yadda saxlamalı. Tam ədədlərin qalıqlı bölünməsində qalıq mənfi ədəd ola bilməz.

Nümunə.  35 -in  8 -ə bölünməsindən alınan qalığı tapaq.

Çox halda belə düşünürlər ki,

• 
  35 = 8  4 + (3) . Bu cavab doğru deyil. Çünki qalığa verilən tərifə görə
  

0  r < b

olmalıdır. Düzgün cavab belə tapılır:

• 
  35 = 8  q + r . Bu bərabərlikdə qalıq mənfi ola bilmədiyindən
  

(35)

bölünəni (8  q) -dən kiçik ola bilməz. (8) -ə bölünən və (35) -dən ən kiçik, ona ən yaxın ədəd (40) -dır.Ona görə də

– 35 = 8  5 + 5 . Deməli,  35 -in  8 -ə

bölünməsindən alınan qalıq

r = 5 .

Hesab əməllərinin xassələri

Ədədlər üzərində hesab əməllərini yerinə yetirmək üçün onların aşağıdakı əsas xassələrindən istifadə olunur.

Tutaq ki, a, b, c istənilən tam ədədlərdir. Onda:

1. 
   a + b = b + a (toplamanın kommutativlik və ya yerdəyişmə xassəsi);
   
2. 
   (a + b) + c = a + (b + c) (toplamanın assosiativlik və ya qruplaşdırma xassəsi);
   
3. 
   a  b = b  a (vurmanın kommutativlik və ya yerdəyişmə xassəsi);
   
4. 
   (a  b)  c = a  (b  c) (vurmanın assosiativlik və ya qruplaşdırma xassəsi);
   

5) (a + b)  c = a  c + b  c

(vurmanın toplamaya nəzərən distributivlik və ya paylama xassəsi);

6) a  b  b  a (yəni çıxma kommutativlik xassəsinə malik deyil);

7) a  (b + c) = (a  b)  c ;

8) (a + b)  c = a + (b  c) ;

9) a  (b  c) = a  b  a  c,

(a  b)  c = a  c  b  c

(vurmanın çıxmaya nəzərən distributivlik və ya paylama xassəsi);

10) 0 : b = 0 ;

11) b : b = 1 ;

12) a : b  b : a ;

13) (a + b) : c = a : c + b : c ;

14) (a  b) : c = (a : c)  b ;

15. 
    0 -a bölmə əməli təyin edilməmişdir;
    
16. 
    0 : 0 nəticəsi qeyri-müəyyəndir, yəni istənilən tam ədəddir.
    

Müxtəlif say sistemləri

Ədədləri düzgün adlandırmaq, yazılı təsvir etmək, onlar üzərində əməllərin yerinə yetirilməsi üçün simvolik yazılış üsullar toplusu say sistemlərini əmələ gətirir. Say sistemlərini ədədlərin yazılışı və onlar üzərində əməllərin yerinə yetirilməsi üçün dil də adlandırırlar.

Say sistemlərini mövqeli və mövqesiz say sistemlərinə ayırırlar. Mövqesiz say sistemlərində ədədlərin yazılışında istifadə edilən hər bir işarənin dəyəri onun durduğu yerdən asılı olmur.

Mövqeli say sistemlərində ədədlərin yazılışında istifadə edilən hər bir işarənin dəyəri onun durduğu yerdən asılı olur. Ona görə də mövqeli say sistemlərində ədədlərin yazılışında belə bir prinsip vardır: işarənin durduğu mövqeyə görə

dəyərini müəyyən etmək üçün mərtəbələrə bölürlər və vahidlərin müəyyən miqdarı yeni mərtəbənin vahidini əmələ gətirir. Mərtəbə vahidlərinin miqdarını təyin edən bu ədəd say sisteminin əsası adlanır.

Say sisteminin əsası kimi istənilən

p  2

natural ədədi götürülə bilər. Əsası p olan say sistemi p -lik say

sistemi adlanır. p -lik say sistemində ədədlərin yazılışı üçün istifadə olunan işarələrin (bu işarələr rəqəm adlanır) sayı

p -yə bərabərdir:

0,1, 2,..., p  1 .

İnsanlar əsasən 10-luq say sistemindən istifadə edir. 10-luq say sisteminin rəqəmləri 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 -dur.

İkilik say sisteminin rəqəmləri (işarələri) 0 və 1, üçlük say siteminin rəqəmləri rəqəmləri 0, 1, 2, 3-dür və s.

0,1 və 2, dördlük say sisteminin

İstənilən mövqeli say sisteminin əsası 10 kimi yazılır və 10-luq say sistemində «on» kimi, digər say sistemlərində

isə «on» kimi yox, «bir-sıfır» kimi oxunur. İstənilən mövqeli say sisteminin əsasının kvadratı 100, kubu 1000 və s. kimi yazılır.

İstənilən p-lik say sistemində (n+1) rəqəmli x natural ədədi


n n1 n2 1 0
x = a  pⁿ + a  p^n1 + a p^n2 + ... + a p¹ + a  p ⁰

kimi təsvir edilir. Burada
0 < a_n  p 1 və 0  a_i  p 1, i = 0,1, 2,..., n 1 .

x ədədinin x = a₀  pⁿ + a₁  p^n1 + a₂ p^n2 + ... + a_n  p ⁰ şəklində təsviri əvəzinə çox zaman


x = (a_n a_n ...a a )

kimi qısa yazılışından istifadə edilir.

^{1 1 0} p

Onluq say sistemində yazılan ədədlər rəqəmlərin yerləşdiyi mərtəbəyə görə oxunur. Msələn, 5692-ədədi beş min altı yüz doxsan iki, 321-üç yüz iyirmi bir və s. kimi oxunur. Ancaq digər say sistemlərində belə oxunuş yoxdur. Sadəcə rəqəmlər bir-bir oxunur. Məsələn, ikilik say sistemində verilən 101110₂ -ədədi bir sıfır bir bir bir sıfır kimi, 6-lıq say sistemində verilən 2150₆ ədədi iki bir beş sıfır kimi oxunur.

Bir say sistemində verilmiş ədədi onluq say sistemində təsvir etmək qaydası ilə tanış olaq. p-lik say

sistemində verilən x = (a_n a_n1 ...a₁a₀ )_p

ədədini 10-luq say sistemində yazaq. Verilən ədədi

n n1 n2 1 0
x = a  pⁿ + a  p^n1 + a p^n2 + ... + a p¹ + a  p ⁰

şəklində təsvir edir və uyğun hesablamaları onluq say sistemində aparmaqla həmin ədədin 10-luq say sistemindəki yazılışını alırıq.

Nümunələr. 1. 101110₂ -ədədini onluq say sistemində yazaq:

101110₂ = 1  2⁵ + 0  2⁴ + 1  2³ + 1  2² + 1 2¹ + 0  2⁰ =

= 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 46 ^.

Deməli, 101110 ₂ = 46₁₀ .

2. 534₆ -ədədini onluq say sistemində yazaq:

534₆ = 5  6² + 3  6¹ + 4  6⁰ = 5  36 + 3  6 + 4 1 = 202 .

Deməli, 534₆ = 202₁₀ .

İndi isə 10-luq say sistemində verilmiş ədədi p-lik say sistemində təsvir etmək qaydası ilə tanış olaq.

10-luq say sistemində verilmiş x ədədini p-yə bölürük. Alınan qalığı r₁ ilə, natamam qisməti isə q ilə işarə edək.

Əgər

q = 0 olarsa, onda

x₁₀ = x _p . Əgər

0 < q < p

olarsa, onda


x₁₀ = (qr₁ ) _p . Əgər

q  p

olarsa, onda proses

0 < q < p

bərabərsizliyi ödənilənə qədər davam etdirilir və

r₂ , r₃ ,..., r_n qalıqları qeyd olunur. Nəticədə


(qr_nr_n1...r₁ )_p

ədədi 10-luq

say sistemində verilmiş x ədədinin p-lik say sistemindəki təsviri olacaq.

Nümunələr.1. 10-luq say sistemində verilmiş 202₁₀

ədədini 6-lıq say sistemində təsvir edək.

202₁₀

ədədini 6-ya bölək: 202 = 6  33 + 4 . Deməli, r₁ = 4, q = 33 . q = 33  p

33 = 6  5 + 3 . r₂ = 3, q = 5 . q = 5 < p = 6

olduğundan 33-ü 6-ya bölürük:

olduğundan 202₁₀ = (qr₂ r₁ )₆ = 534₆ .

Nümunələr.2. 10-luq say sistemində verilmiş 25₁₀ ədədini 4-lük say sistemində təsvir edək.

25₁₀ ədədini 4-ə bölək: 25 : 4 = 4  6 + 1 . r₁ = 1, q = 6 . q = 6  p

olduğundan 6-nı 4-ə bölürük:

6 : 4 = 4 1 + 2 . r₂ = 2, q = 1 q = 1 < p = 4 .

Deməli, 25₁₀ = (qr₂ r₁ ) = 121₄ .