|
5 11 12 8 5 3
p
çoxluğunu əmələ gətirir. Rasional ədədlər çoxluğunu Q hərfi ilə işarə edirlər: Q = q | q Z ,
p N .
Tam ədədləri də adi kəsr şəkilində yazmaq olar:
5 = 5 = 25 ; 7 = 7 = 14 = 28 və s.
1 5 1 2 4
Kəsrin əsas xassəsi: a 0 olduqda q = q a = q : a . Yəni kəsrin surətini və məxrəcini sıfırdan fərqli ədədə
p
vursaq və ya bölsək, onda kəsrin qiyməti dəyişməz.
p a
p : a
p N , q N və
q < p
olduqda
q kəsri düzgün, q p olduqda isə düzgün olmayan kəsr adlanır. Məsələn: 1)
p
3 ; 13 ;
5 27
15 və s. düzgün kəsrlərdir; 2) 8 ;
39 8
27 ;
13
39 ;
15
13 və s.düzgün olmayan kəsrlərdir.
2
22 düzgün olmayan kəsrinin surətini 22=2·9+4 şəklində yazaq. 2 ədədi
9
22 kəsrinin tam hissəsi adlanır və
9
22 = 2 4
şəklində yazılır və iki tam doqquzda dörd kimi oxunur. Düzgün olmayan kəsrin belə yazılışı qarışıq ədəd
9 9
adlanır.
Hər bir qarışıq ədədi də düzgün olmayan kəsrə çevirmək olar:
k p = p + k q ,
q q
burada k - qarışıq ədədin tam hissəsini göstərir.
Adi kəsrlər üzərində hesab əməlləri. Kəsr ədədlər üzərində hesab əməlləri aşağıdakı qaydalarla aparılır.
Məxrəcləri eyni olan adi kəsrlərin toplanması və çıxılması:
a c = a c a c = a c .
b b b b b b
Məxrəcləri müxtəlif olan adi kəsrlərin toplanması və çıxılması:
a p c p
a c = b
d , p=ƏKOB(b, d).
Adi kəsrlərin vurulması:
b d p
a c = a c .
b d b d
Adi kəsrlərin bölünməsi:
a : c = a d
= a d .
b d b c
b c
Tərif. Cəmi sıfır olan iki ədədə qarşılıqlı əks ədədlər deyilir. Məsələn: 1) 3 və 3 , çünki, 3+( 3 )=0; 2) 4 və
– 4 , çünki 4+( 4 )=0; 3)
3 və 3 , 3 + 3 = 0 .
Tərif. Hasili 1-ə bərabərolan iki ədədə qarşılıqlı tərs ədədlər deyilir. Məsələn: 1) 5 və 1 , çünki 5 1 = 1 ; 2)
5 5
– 6 və 1 , çünki (6) ( 1 ) = 1.
6 6
Onluq kəsrlər
Məxrəci 10 ədədinin hasillərindən ibarət olan kəsr ədədlərin məxrəcsiz yazılış forması qəbul edilmişdir ki, kəsr ədədlərin belə yazılışı onluq kəsrlər adlanır.
Məsələn. 1.
3 adi kəsri 0,3 şəklində yazılır və “sıfır tam onda üç” kimi oxunur. 2. 2 7 10 10
qarşıq ədədi 2,7
şəklində yazılır və “iki tam onda yeddi” kimi oxunur.
Onluq kəsrlərdə vergüldən əvvəlki rəqəmlərin əmələ gətirdiyi ədəd kəsr ədədin tam hissəsini, vergüldən sonrakı rəqəmlərin əmələ gətirdiyi ədəd kəsrin surətini göstərir. Onluq kəsrin məxrəci vergüldən sonra yazılan rəqəmlərin sayı qədər 1 rəqəminin yanına sıfırlar yazmaqla alınan ədədə bərabər olur.
Onluq kəsrlərin məxrəclərini bərabərləşdirmək üçün məxrəci kiçik olan kəsrin sonuna sıfır yazılır.
Adı kəsrləri onluq kəsr şəklində yazmaq olar. Bunun üçün adi kəsrin surətini məxrəcinə bölüb tam hissəsini alınan qismətlə toplayırlar:
İxtisar olunmayan adi əsrlərin məxrəci yalnız 2 və 5 ədədlərindən ibarət vuruqlara ayrılarsa, belə kəsrlər sonlu onluq kəsr şəklində göstərilə bilər.
İxtisar edilməyən adi kəsrlərin məxrəcinin sadə vuruqlara ayrılarsına 2 və 5-dən başqa digər sadə vuruqlar da daxil olarsa, belə adi kəsrləri sonlu onluq kəsr şəklində göstərmək olmur. Surətin məxrəcə bölünməsi sonsuz davam edir. Belə onluq kəsrlər sonsuz dövrü onluq kəsr və ya sadəcə dövrü kəsr adlanır. Qismətdə vergüldən bilavasitə sonra və ya bir neçə rəqəmdən sonra rəqəmlər təkrarlanır. Təkrarlanan rəqəmlər kəsrin dövrü adlanır.
Nümunələrdən görünür ki, 1-ci və 2-ci kəsrlərdə 3 rəqəmi, 3-cüdə 285714 rəqəmləri, 4-cü də 7 rəqəmi sonsuz təkrarlanır. Sadəlik üçün dövrü kəsrləri aşağıdakı şəkildə yazırlar:
1 = 0, (3) ;
3
5 = 0,8(3) ;
6
3 2 = 0, (285714) ;
7
3 7 = 3, (777) .
9
Hər bir sonlu onluq kəsri adi kəsrə çevirmək olar. Bunun üçün onu adi kəsr şəklində yazıb ixtisar edirlər.
Sonsuz dövrü onluq kəsrləri də adi kəsrə çevirmək olar.
m, n, p və s. natural ədədlər olduqda 0,(m); 0,(m n); 0,(m n p) və s. kimi kəsrlər saf
dövrü onluq kəsrlər adlanır. Saf dövrü kəsrləri 0,(m) =
m ; 0,(mn) = mn ; 0,(mnp )= mnp və s. şəklində yazmaqla
adi kəsrə çevirirlər.
Nümunə. 1. 0, (71) = 71 .
99
9 99
999
x = 0, (71) 100 x = 71, (71) 100 x x = 71, (71) 0, (71) 99 x = 71 x = 71 .
99
II. 0,m(n); 0,m(np); 0,mn(pq) və s. kimi dövrü kəsrlər qarışıq dövrü kəsr adlanır və onları aşağıdakı şəkildə yazmaqla adi kəsrə çevirirlər:
0, m( n) = mnn ;
90
0, m( np) = mnp m ;
990
0, mn( pq) = mnpq mn və s.
9900
Nümunə. 1. 0,44(56) = 4456 44 = 4412 = 2206 .
Kəsr ədədlərin müqayisəsi
Kəsr ədədləri müqayisə etmək üçün kəsrlərin məxrəcləri və ya surətləri bərabərləşdirilir; a) məxrəcləri bərabər olan kəsrlərdən surəti böyük olan kəsr böyük olur; b) surətləri bərabər olan kəsrlərdən məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür.
Nümunələr. Aşağıdakı kəsr ədədləri müqayisə edək.
5 və
7 . Bu kəsrlərin məxrəcləri bərabərdir. Ona görə də surəti böyük olan kəsr böyükdür:
7 > 5 .
9
7 və
9 9
7 . Bu kəsrlərin surətləri bərabərdir. Ona görə də məxrəci kiçik olan kəsr böyükdür:
9
7 < 7 .
12 11 12 11
19 və
21
7 . Bu kəsrləri müqayisə etmək üçün onların məxrəcini bərabərləşdiririk:
15
19 =
21
95
105
və 7 =
15
49 .
105
Görünür ki, 19 =
21
95
105
> 49 = 7 .
105 15
İrrasional ədədlər. Həqiqi ədədlər
Hər bir sonlu onluq kəsr və dövrü onluq kəsr adi kəsr şəklində yazıla bilir. Elə ədədlər vardır ki, adi kəsr şəklində göstərilə bilmir. Yəni ədədlər çoxluğu təkcə rasional ədədlərdən ibarət deyil.
Məsələn, katetləri 1-ə bərabər olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu Pifaqor teoreminə görə -yə bərabərdir. Göstərək
ki, bu rasional ədəd deyil. Yəni
ədədini
m ( m Z , n N )
n
şəklində göstərmək olmaz.
Əksini fərz edək. Tutaq ki,
rasional ədəddir və onu ixtisarolunmayan
m kəsri şəkilndə göstərilə bilər:
n
m = m =
n
· n m 2 = 2n 2 . (1)
(1) bərabərliyinin sağ tərəfi 2-yə bölünür. Deməli, sol tərəf də 2-yə bölünməlidir. m 2 -ı 2-yə bölünürsə, onda m –də 2-yə
bölünməlidir. Doğrudan da. əgər
m = 2k + 1 olarsa, onda
m 2 = 4k 2 + 4k + 1 olur ki, bu da
m 2 -nın 2-yə bölünmədiyini
göstərir. Deməli, m = 2 k,
k N . (1) bərabərliyində m-in yerinə 2 k yazasaq,
4k 2 = 2n 2 2k 2 = n 2
Beləliklə,
m = 2k = k . Yəni m kəsri ixtisar olunansır. Bu isə qəbul edilən şərtə ziddir.
n 2 p p n
Rasional olmayan ədədlər irrasional ədəd adlanır. Yəni
m ( m Z , n N )
n
göstərilə bilməyən ədədlər
irrasional ədədlər çoxluğunu əmələ gətirir. İrrasional ədədlər çoxluğu İ hərfi ilə işarə olunur.
İrrasional ədədlər sonsuz dövrü olmayan onluq kəsr şəklində təsvir edilir. Hesablamalarda onların müəyyən
dəqiqliklə təqribi qiyməti götürülür. Məsələn: s.
1,41
1,73 ; = 3,1415926... 3,14 ; e = 2,71822818... = 2,72 və
Qeyd edək ki, “ irrasional” sözü latın mənşəlidir və mənası «müəyyənləşdirilməyən münasibət»
(«düşünülməyən») mənasını verir.
Rasional ( Q ) və irrasional ( İ ) ədədlər birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğunu əmələ gətirir. Həqiqi ədədlər çoxluğunu R hərfi ilə işarə edirlər: R = Q İ .
Ədəd oxu. Həqiqi ədədləri həndəsi təsvir etmək üçün ədəd oxundan istifadə edilir.
Üzərində sıfır (başlanğıc) nöqtəsi qeyd olunan, ox işarəsi ilə müsbət istiqaməti göstərilən, seçilmiş miqyasa uyğun uzunluq vahidi qəbul edilən parçanın qeyd olunduğu düz xəttə ədəd oxu və ya koordinat oxu deyilir (şəkil 1).
Şəkil 1.
Ədəd oxu üzərində 0-dan sağ tərəfdəki nöqtəyə (A) uyğun ədəd müsbət 3 3 , sol tərəfdəki nöqtəyə (B) uyğun
10
ədəd mənfi ( 1)
götürülür.
A 3
3
10
nöqtəsinə uyğun ədəd seçilmiş miqyasla OA parçasının uzunluğunu,
B( 1)
nöqtəsinə uyğun ədəd OB parçasının uzunluğunu göstərir.
Ədəd oxunda sağ tərəfə müsbət istiqamət qəbul edilərsə, onda iki ədəddən sağ tərəfdə yerləşən ədəd böyükdür.
Parça və interval. Ədəd oxu üzərində a və b
(a < b)
ədədlərindən və onlar arasındakı bütün ədədlərdən ibarət
çoxluq [ a; b] kimi yazılır və parça adlanır.
Əgər parçanın uclarını xaric etsək, yəni a və b uc nöqtələri çoxluğa aid olmazsa, onda belə ədədlər çoxluğu aralıq
(interval) adlanır və ( a; b)
kimi yazılır; a (a;b)
və b (a;b) .
Əgər yalnız a-nı və ya b-ni çoxluqdan xaric etsək, onda belə ədədlər çoxluğu yarımaralıq (yarım interval)
adlanır və (a;b] (a (a; b]) və ya [a;b) (b [a; b)) kimi yazılır.
x həqiqi ədədi [ a; b]
parçasına daxildirsə, x [a;b] və ya a x b
kimi yazılır; x ədədi (a;b)
inervalına
daxildirsə, x ( a; b) və ya a < x < b kimi yazılır; x ədədi [ a; b)
yarımintervalına daxil olarsa,
x [ a; b) və ya
a x < b kimi, (a;b] yarımintervalına daxil olarsa, x (a;b]
və ya
a < x b kimi yazılır.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
