Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Həqiqi ədədlərin mütləq qiyməti

Tərif. x hərfi ilə işarə edilmiş ədədin mütləq qiyməti (və ya modulu) x kimi yazılır və


 ^x,

x > 0 olduqda,

kimi təyin edilir. Tərifə görə

x  0 .

x = ^ 0 ,



^  x,

x = 0 olduqda, x < 0 olduqda

Mütləq qiymətin xassələri. İxtiyari həqiqi a və b ədədləri üçün aşağıdakı xassələr doğrudur.

1. a + b  a + b . 2.

a  b  a  b .

3. a  b = a  b . 4. = ; b≠0.

1. 
   ci xassənin isbatı. Tutaq ki, a + b  0 . Onda
   

a + b = a + b  a + b .

Tutaq ki, a + b < 0 . Onda a + b = (a + b)  (a) + (b)  a + b .

2. 
   ci xassənin isbatı. Tutaq ki, a  b = z işarə edək. Onda a = z + b .
   

a = z + b  z + b = b + a  b  a  b  a  b .

Həqiqi ədədin tam və kəsr hissəsi

Tərif 1. Verilmiş x həqiqi ədədindən böyük olmayan ən böyük tam ədədə x ədədinin tam hissəsi deyilir və [x]

kimi işarə edilir.

Tərif 2. x ədədi ilə onun tam hissəsinin fərqinə x ədədinin kəsr hissəsi deyilir və {x} kimi işarə edilir:

{x} = x  [x].

Məsələn: 1) x =5,2olarsa, [x]=[5,2]= 5; {5,2}= 5,2  5 = 0,2 ;

2) x = 7,3 olarsa, [x]=[ 7,3]= 8; ^{ 7,3^}= 7,3  (8) = 0,7 ;3) x = -0,6 olarsa, [x]= [ 0,6]= 1; ^{ 0,6^}= 0,4 .

Ədədin tam və kəsr hissəsinin bəzi xassələri.

1. 
   İstənilən x həqiqi ədədi üçün x = [x]+ {x}.
   

2. 
   İstənilən x həqiqi ədədi üçün {x}[0;1)
   

və [x]  x < [x] + 1.

3. 
   İstənilən x həqiqi ədədi və n tam ədədi üçün [x + n] = [x] + n ;
   

{x + n} = {x};

4. 
   İstənilən x və y həqiqi ədədləri üçün [x + y]  [x] + [ y] və {x + y}  {x} + {y}.
   

Ədəbiyyat

1. 
   A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, I hissə, Bakı, 2006.
   
2. 
   A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, II hissə, Naxçıvan, 2008.
   
3. 
   A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, III hissə, Naxçıvan, 2015.
   
4. 
   Ə.M.Məmmədov, R.Y. Şükürov, Elementar riyaziyyat, Bakı, 2010.
   
5. 
   R.İ. Muradov, Məktəb riyaziyyat kursunun elmi əsasları, Bakı, 2007.
   
6. 
   А.Г. Мордкович- Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, Москва, 2009.
   
7. 
   В.А. Битнер, Краткий курс школьной математики, Санкт-Петербург,2007.
   
8. 
   Е.В. Хорошилова, Элементарная математика, часть 1, 2., Mocква, 2010 .
   
9. 
   M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 10-cu sinif, Bakı, 2003.
   
10. 
    M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 11-ci sinif, Bakı, 2007.
    
11. 
    R.H. Məmmədov və başqaları Riyaziyyat, I, II hissə. Bakı, 1976.
    
12. 
    А.Г. Цыпкин  Справочник по математике. М., Наука, 1984.
    

Mühazirə 4

1. 
   Natural üstlü qüvvət və xassələri. Ədədin standart şəkli. n-ci dərəcədən kök.
   
2. 
   Hesabi kök və onun xassələri.
   
3. 
   Rasional üstlü qüvvət və onun xassələri. İrrasional üstlü qüvvət və onun xassələri
   
4. 
   Ədədin loqarifması. Onluq və natural loqarifma. Hasilin, nisbətin, qüvvətin loqarifması.
   
5. 
   Bir əsadan başqa əsasa keçmə.
   
6. 
   Ədədi bərabərliklər. Ədədi bərabərsizliklər. Bərabərsizliklərin xassələri. Bərabərsizliklər üzərində əməllər Ədədi ifadələr
   
7. 
   Nisbət, faiz, tənasüb. Mütənasib bölmə
   

Qüvvətə yüksəltmə. Qüvvət anlayışının ümumiləşməsi

Natural üstlü qüvvət. Eyni vuruqlardan ibarət vurma əməlinin qısa yazılışı qüvvətə yüksəltmə adlanır.

Məsələn, a istənilən həqiqi ədəd, n isə natural ədəd olduqda a-nın n dəfə özünə vurulmasının qısa yazılışı

aⁿ kimi işarə

edilir və “a-nın

n -ci qüvvəti” kimi oxunur:

aⁿ = a__a_ .._._ a .

n defe

a-ya qüvvətin əsası, n-ə qüvvətin dərəcəsi deyilir.

Natural üstlü qüvvətin xassələri

Xassə 1. Əsasları eyni olan qüvvətləri vurduqda əsas olduğu kimi saxlanılır, üstlər toplanır:

aⁿ  a^m = a^n+m .

Xassə 2. Əsasları eyni olan qüvvətləri böldükdə əsas saxlanılır, üstlər çıxılır (m > n , a  0 ) (m>n):

m
^a = a _an

mn _.

Xassə 3. İstənilən a və b həqiqi ədədlərinin hasilinin n-ci qüvvəti onların n-ci qüvvətinin hasilinə bərabərdir:

(a  b) ⁿ = aⁿ  bⁿ .

Xassə 4.

Xassə 5.

(aⁿ ) ^m = a^nm .

b  0 olduqda
 ^a  ^{n an}


= .
 

^b bⁿ

 

Xassə 6. Vahidin istənilən qüvvəti vahidə bərabərdir: 1ⁿ = 1 .

Mənfi tam üstlü qüvvət. 2-ci xassədə m > n şərti qəbul edilmişdir. Bu şərti qəbul etmədikdə qüvvət üstü mənfi ədəd də alına bilər.

Tutaq ki,

a sıfırdan fərqli istənilən həqiqi ədəd, m, n, p natural ədədlər və

m < n , n=m+p . Onda

və ya

a ₌ a^m


m
_an _am+ p

_{= a}mm p

_{= a}  p

Buradan
_a  p ₌ ¹

_a p

alınır.

a ₌ a^m


m
_an _am+ p

= _am

a^m  a ^p

= ^{1 .}

_a p

Beləliklə, sıfırdan fərqli istənilən

a həqiqi ədədinin ( p) mənfi tam üstlü qüvvəti

a ^{ p} = ¹ .

_a p

Sıfır ədədinin mənfi tam üstlü qüvvəti, yəni

0^{ p} təyin edilməmişdir.

m = n olduqda sıfırdan fərqli istənilən

a həqiqi ədədi üçün

m
^a = a _an
mn

= a ⁰

= 1 .

Yəni sıfırdan fərqli istənilən a həqiqi ədədinin sıfır üstlü qüvvəti 1-ə bərabərdir.

0⁰ qüvvəti təyin edilməmişdir.

Sıfırdan fərqli istənilən a , b həqiqi ədədləri və istənolən m, n tam ədədləri üçün aşağıdakı bərabərliklər ödənilir.

^am  ^a  ^{n an}

1. aⁿ  a^m = a^n+m . 2. (a  b) ⁿ = aⁿ  bⁿ . 3.

= a^mn . 4. (aⁿ ) ^m = a^nm .

^5.   ^{= .}

6. Tutaq ki, m, n  Z və m > n . Onda, əgər

_an

a > 1 olarsa, a^m > aⁿ ; əgər
0 < a < 1 olarsa,

 ^b  ^bn

a^m < aⁿ .

Bu xassələri müstəqil isbat edin.

Ədədin standart şəkli

Elm və texnikada çox böyük müsbət ədədlərə rast gəlindiyi kimi, çox kiçik müsbət ədədlərə də rast gəlinir.

Məsələn, Yerin həcmi - ifadə olunur.

1.083.000.000.000 km³ - lə, su molekulunun diametri çox kiçik ədədlə- 0,0000000003 m-lə

Böyük və kiçik ədədləri adi və onluq kəsr şəklində oxumaq, yazmaq və onlar üzərində hər hansı əməli yerinə

yetirmək əlverişli deyil. Belə olan halda ədədi

a  10ⁿ

şəklində göstərmək faydalı olur. Burada

1  a < 10 , n isə tam

ədəddir. Məsələn: 0,000000003=3·10^-9; 1083000000000=1,083·10¹². Ədədin

ədədin standart şəkli adlanır. n-tam ədədinə ədədin tərtibi deyilir.

n-ci dərəcədən kök. Hesabi kök

a  10ⁿ

( 1  a < 10

şəklində yazılışı

Tərif. Mənfi olmayan b

həqiqi ədədinin

n -ci

(n  2)

dərəcədən natural qüvvəti mənfi olmayan a

həqiqi

ədədinə bərabər olarsa, onda b -ədədinə a- ədədinın n-ci dərəcədən hesabi kökü deyilir və b =

kimi yazlır. Verilən

tərifə görə

bⁿ = a .

Tərif.

n -ci qüvvəti

a -ya bərabər olan

b ədədinə

a ədədinin

n-ci dərəcədən kökü (cəbri kökü) deyilir və

b = kimi işarə edilir. Burada

n N (n  2) olub kökün dərəcəsi,

a isə kökaltı ifadə adlanır.

Verilən tərifə görə

bⁿ = a .

1ⁿ = 1 olduğundan vahidin istənilən dərəcədən kökü vahidə bərabərdir: = 1 .

b istənilən həqiqi ədəd, n=2k cüt natural ədəd olduqda bⁿ = b^2k  0