Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Kompleks ədədin triqonometrik şəkli

Müstəvinin hər bir

A(a; b)

nöqtəsinə

r (a; b)

radius vektoru uyğun olur. Deməli, hər bir

z = a + bi

kompleks

ədədinə

r (x; y)

radius vektoru və tərsinə, hər bir

r (a; b)

radius vektoruna

z = a + bi

kompleks ədədi uyğun tutulur.

Bundan istifadə edərək sıfırdan fərqli (z  0 + 0  i)

dən görünür ki,

hər bir kompleks ədədi triqonometrik şəkildə yazmaq olar. Şəkil 5-

r = r (a;b) =

, (1)

cos =

^a , sin  = ^b
, (2)

tg = ^b . (3)

a

Bu düsturlardan istifadə etməklə sıfırdan fərqli

kimi yaza bilərik.

(z  0 + 0  i)
a

istənilən

b

z = a + bi


kompleks ədədini aşağıdakı

z = a + bi =

+ i ^ =




^ a ² + b ² a ² + b ^{2 }

= r(cos + i sin) . (4)

(4) şəklində yazılış forması kompleks ədədin triqonometrik şəkildə yazılışıdır. r = z
kompleks ədədin

moduludur. bucağına kompleks ədədin arqumenti deyirlər və  = Arg z

kimi işarə edilir.

Yadda saxlamalı: kompleks ədədin triqonometrik formada yazılışında modul r > 0 və kosinusla sinus arasında

həmişə “+” işarəsi olmalıdır.

 = Arg z

bucağı

r (a; b)

radius vektorunun Ox oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ

gətirdiyi bucaqdır və radianlarla (dərəcələrlə) ölçülür.

Kompleks ədədlərin aşağidaki şəkildə yazılışları triqonometrik forma deyil:

^{ }  ^ ^ _{z = } ^{   }

^{z1 = 5cos} ₂ ^{+ i sin}^{ } ₂ <sup> ; 2

2</sup>^{cos + i sin}  ^;

3 3

 ^{ }

z = sin ^ + i cos ^ ; z = ^

 

^  i sin ^{ }

³ 6 6

₄ ²^cos 

_ 4 4 _

Qeyd edək ki, kompleks ədədin modulu birqiymətlidir və

r  0 , arqumenti isə çoxqiymətlidir. Belə ki,

kompleks ədədin arqumenti 2k

dəqiqliyi ilə təyin edilir.

Arg z -in birqiymətli olması üçün onun 0   < 2

aralığındakı qiyməti götürülür və arqumentin bu aralıqdakı qiyməti baş qiymət adlanır.

Qeyd. Bəzi kitablarda müəlliflər   <    aralığını arqumentin baş qiyməti götürürlər.

r və məlum olduqada triqonometrik şəkildə verilən kompleks ədəd

düsturlarının köməyi ilə a + bi

a = r cos

cəbri şəkildə yazılır.

; b = r sin

(5)

Verilmiş kompleks ədədi triqonometrik şəkildə yazarkən, uyğun nöqtənin hansı rübə düşdüyünə diqqət edilir. arqumenti də həmin rübün bucağı olmalıdır:

1) z = 0 + 0  i

2) z = a + 0  i

kompleks ədədinin arqumenti təyin edilməyib;

kompleks ədədinin arqumenti a > 0 olduqda  = 0 , a < 0 olduqda

=  ;

3) z = 0 + b  i

kompleks ədədinin arqumenti b > 0 olduqda = ^

2

, b < 0 olduqda = ^3 ;

2

4. 
   a + bi
   

kompleks ədədinə uyğun nöqtə koordinat sisteminin I rübündə yerləşərsə,  = arctg ^b

a

(a > 0, b > 0) ;

4. 
   a + bi
   

kompleks ədədinə uyğun nöqtə koordinat sisteminin II rübündə yerləşərsə,  =   arctg ^b

a

(a < 0, b > 0) ;

4. 
   a + bi
   

kompleks ədədinə uyğun nöqtə koordinat sisteminin III rübündə yerləşərsə,

 =  + arctg

(a < 0, b < 0) ;

4. 
   a + bi kompleks ədədinə uyğun nöqtə koordinat sisteminin IV rübündə yerləşərsə,
   

Nümunələr. Kompleks ədədləri triqonometrik şəkildə yazaq:

a) 5; b)  2 ; c) 2i ; d)  3i ; e) 4  4i ; ə)  1  i .

Həlli. (1) - (4) düsturlarından istifadə edirik:

 = 2  arctg

(a > 0, b < 0) .

1. 
   kompleks ədədə uyğun nöqtə x oxu üzərindədir:
   

r =
= 5 ;

 = arctg ⁰ = 0 ;

5

5 = 5(cos0 + i sin 0) .

2. 
   kompleks ədədə uyğun nöqtə x oxu üzərindədir:
   

r = = 2 ;

 =   arctg

=  ;

– 2 = 2(cos + i sin ) .

3. 
   kompleks ədədə uyğun nöqtə y oxu üzərindədir:
   

r =

cos = ⁰ = 0 ,

= 2 ;

sin = ² = 1   = ^ ;

2

2i =

4. 
   kompleks ədədə uyğun nöqtə y oxu üzərindədir:
   

 ^

²^cos

_ 2

2 2



;
+ i sin ^{ }

2 _

r = = 3 ; cos = ⁰ = 0 , sin = ^{ 3} = 1   = ^3 ;

– 3i = ^

3 3 2

^3 + i sin ^{3 } ;

5. 
   kompleks ədədə uyğun nöqtə IV rübə düşür:
   

³^cos 

_ 2 2 _

Deməli,

r = = 4

;  = arctg

= 2  arctg1 = ^7 .

4

4  4i = 4

 ^{7 7} 

 + 
2 cos i sin ;

 

_ 4 4 _

ə) kompleks ədədə uyğun nöqtə III rübə düşür:

r = =

;  = arctg

=  + arctg1 = ^5 ,

4

1  i =

 ^{5 5} 

 + 
2 cos i sin .

 

_ 4 4 _

Nümunələr. Kompleks ədədləri triqonometrik şəkildə yazaq:

1. 
   
   

 <sup>

2</sup>^cos

_ 3

+ i sin

^{ } ; b) cos ^



3 _ 2

+ i sin^  ^{ }





;
 ² 

c) sin ^ + i cos ^ ; d) cos ^  i sin ^ .

6 6 4 4

Həlli: a) kompleks ədəd III rübün nöqtəsinə uyğundur:

_–  <sup>

</sup>   ^{ } 

²^{cos + i sin}  ^{= 2}^{ cos  i sin}  ⁼

_ 3 3 _{ } 3 3 _

 + +  + =
^  ^   ^ ^ 

2 cos i sin

^4 + i sin ^{4 } ;

3
_   

 ^{ 3  }

2. 
   cos ^ + i sin^  ^{ } = cos ^ + i sin ^ ;
   

_ ²^cos 

^ ^{ 3 3 }

 

2 _ 2 _ 2 2

3. 
   kompleks ədəd I rübün nöqtəsinə uyğundur:
   

sin ^ + i cos ^

     

₌    
cos  + i sin  = cos + i sin ;

 

6 6 _ 2 6 _

 

_ 2 6 _ 3 3

4. 
   
   ₌  ^ 
   kompleks ədəd IV rübün nöqtəsinə uyğundur:
   

cos ^  i sin ^ cos 2  +

^   ^{ } =



4 4 _

 ^{i sin} ² 

⁴   ⁴ 

= cos ^7 + i sin ^7 .

4 4

Nümunələr. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədi cəbri şəkildə yazaq:

 ^{ }   ^{2 2} 

1. 
   ²^{cos + i sin}  ^{; b) 5}^{cos  + i sin }  ^.
   

_ 4 4 _{ } 3 3 _

Həlli. (5) düsturlarından istifadə edirik:

1. 
   göründüyü kimi kompleks ədəd I rübün nöqtəsinə uyğundur;
   

a = 2 cos ^ =

4

, b = 2 sin ^ = ,

=
4

2. 
   kompleks ədəd II rübün nöqtəsinə uyğundur:
   

 <sup>

2</sup>^cos

_ 4

+ i sin ^{ }


4 _

+ 2 i ;

 ^2 2  ^1 ^3 5								+	5 3
	3		3	  ^2	2		2		2

⁵^cos

 + i sin

^  ^{= 5 } ^

 ^{+ 5 }

i =  i .

Nümunə.



3  4i

2 +
kompleks ədədini triqonometrik şəkildə yazaq.

2i

Həlli. Əvvəlcə verilmiş kompleks ədədi cəbri şəkildə yazaq:

3  4i _{= =}

– 2 + 2i

₌ ( 3  4 2 )+ ( 3 + 4 2 )i ₌  7 2 + 2i _{= } 7 2 ₊ 2 _{i .}

2 + 2 4 4 4

Deməli, verilən kompleks ədəd II rübün nöqtəsinə uyğundur.

 =   arctg

a =  ^{7 2} ,

4


b = ² , r = =

2

:

– 7

2

=   arctg

1

3  4i

=

^5^

^1  ^+^i

sin^  arctg 

^1^ ^

4

4

 7

; – 2 +

2

^^c^o^s^^^arctg 2

7



7 

4



i _ 

= ⁵ ;

2
.



Triqonometrik şəkildə verilən kompleks ədədlər üzərində vurma və bölmə əməli. Muavr düsturu

Triqonometrik şəkildə verilmiş

z₁ = r₁ (cos₁ + i sin₁ ) və z₂ = r₂ (cos₂ + i sin₂ )

kompleks ədədlərinin hasilini tapaq:

z₁  z₂ = [r₁ (cos₁ + i sin ₁ )] [r₂ (cos₂ + i sin ₂ )] =

= r₁r₂ [(cos₁ cos₂  sin ₁ sin₂ ) + i(cos₁ sin ₂ +

+ sin ₁ cos₂ )]= r₁r₂ (cos(₁ + ₂ ) + i sin(₁ + ₂ )).

z₁  z₂ = r₁r₂ (cos(₁ + ₂ ) + i sin(₁ + ₂ )). (6)

1. 
   z₁ = 2(cos15 + i sin15), z₂ = 4(cos 20 + i sin 20) ədədlərinin hasilini tapaq.
   

Həlli. (6) düsturuna görə :

z₁  z₂ = 2  4(cos(15 + 20) + i sin(15 + 20)) =

= 8(cos35 + i sin 35) .

olar.

(6) düsturundan istifadə etməklə triqonometrik şəkildə verilən kompleks ədədləri natural qüvvətə yüksəltmək

z = r(cos + i sin ),

z ⁿ = [r(cos + i sin )]ⁿ = r ⁿ (cos n + i sin n ) . (7)

r = 1olduqda (7)-dən

zⁿ = (cos + i sin )ⁿ = (cos n + i sin n ). (8)

(8) bərabərliyi Muavr düsturu adlanır.

Abraham de Muavr (1667-1754) fransız mənşəli ingilis riyaziyyatçısıdır.

Muavr düsturunu riyazi induksiya metodu ilə müstəqil isbat edin.

İki kompleks ədədin nisbəti. Triqonometrik şəkildə verilən iki kompleks ədədin nisbəti aşağıdakı kimi tapılır:

1 2

1 2
z_{1 =} r₁ (cos₁ + i sin₁ ) ₌ r_{1 (cos(}


  )+ i sin(

  )) . (9)

z₂ r₂ (cos₂ + i sin₂ ) r₂

2. 
   (1 + i)¹² qüvvətini tapaq.
   

Həlli. 1+ i

ədədini əvvəlcə triqonometrik şəkildə yazaq:

r = =

, tg = 1.

Kompleks ədəd II rübün nöqtəsinə uyğun olduğuna görə

 = ³  :

4

1 + i =

 ^{3 3} 

+
2 cos i sin .

¹² 

12
(1 + i)

= ( 2 )

 ^3
cos


^12 ^{+ i sin}

 

 ^3

^
_ 4 4 _

^12^{ =}

 ^{ 4   4 }

= 64  (cos9 + i sin 9 ) = 64(1 + i  0) = 64

3. 
   ( 2 + 2i)⁸ - qüvvətini tapaq.
   

Həlli. Kompleks ədəd 2-ci rübün nöqtəsinə uyğundur:

r = = 2 , tg = 1 .

Kompleks ədəd II rübün nöqtəsinə uyğun olduğuna görə

 = ³  ,

4

cos =  ² ,

2

sin = ² .

2

_{( 8} ^  3


³ ^8

– 2 + 2i)

⁼ _^{2 2} ^cos ₄ ^{ + i sin} ₄ ^ _ ⁼

_  _

4. (1 +

3i )2013 qüvvətini hesablayaq.

= 2¹² (cos 6 + i sin 6 ) = 2¹² .

Həlli. (1 +

3i)

kompleks ədədi I rübün nöqtəsinə uyğundur:

r = = 2 ,

tg =

¹   = ^ .

₃ 3

cos = ¹ , sin = ³ .

2 2

(1 +

3i)2013 = ^2^cos ^ + i sin ^{ }



2013

_{= 22013} _cos ^2013

+ i sin ^{2013 } =

₃ 


   

_  ³ _  ^{3 3} 

= 2²⁰¹³ (cos (670 +  ) + i sin(670 +  )) = 2²⁰¹³ .

Kompleks ədədin üstlü şəkli

Kompleks ədədlərin cəbri, triqonometrik şəkildə yazışı ilə yanaşı, üstlü şəkildə yazılışı da vardır. Bu yazılışların hər birindən özünəməxsus məsələlərin həllində istifadə edilir. Həll edilən məsələdən asılı olaraq bir yazılış formasından digərinə keçirlər. Ona görə də kompleks ədədlərin üstlü şəkildə yazılışı ilə də tanış olmaq və digər yazılış formalarına keçməyi bilmək əhəmiyyətlidir.

Eyler düsturunun köməyi ilə kompleks ədədələrin triqomometrik yazılışını ilə üstlü funksiya arsında əlaqə yaradılır.

Eyler düsturu kompleks dəyişənli

_eix

üstlü funksiyasını triqonometrik funksiyalarla ifadə edir:

e^ix = cos x + i sin x . Burada e- eksponent, i-xəyali vahid, x-arqumentdir.

Eyler düsturunun isbatı. cos x , sin x və

e^ix funksiyalarının Teylor sırasına ayrılışı aşağıdakı kimidir:

2
cos x = 1  ^x

2!

+ _x4

3!

– _x6

6!

+ ... + (1)^k

_x2k

(2k)!

+ ... ,

3
sin x = x  ^x

3!

+ _x5

5!

– _x7

7!
+ ... + (1)
k 1

_x 2k 1


(2k 1)!
+ ...

, e^x

= 1 + x + ^x


2
2!

+ _x3

3!

+ _x 4

4!

+ ... + ^x


n
n!
+ ... .

_eix

= 1 + ix  ^x i ^x

2



3
2! 3!

+ _x 4

4!

i ^x .  ^x


5

+

6
5! 6!
+ ... =

_{ x}2

_x4 _x6

  _x³

_x5 _x7 _

= ^1 +

2!

 + ... ^+ i^ x  +

4! 6! 3!

 + ... ^ = cos x + i sin x .

5! 7!

   

Eyler düsturunun köməyi ilə istənilən z = r(cos + i sin ) kompleks ədədini üstlü şəkildə yaza bilərik:

z = r(cos + i sin  ) = re^i .

_ei

əsas dövrü 2

olan funksiyadır. Yəni e^{i( +2 )} = e^i .

kifayətdir.

z = x + iy

kompleks ədədini üstlü şəkildə yazmaq üçün onun modulunu və arqumentinin baş qiymətini tapmaq

Məsələn, 4  4i kompleks ədədini üstlü şəkildə şəkildə yazaq.

r = = 4

;  = arctg

= 2  arctg1 = ^7 .

4

4  4i = 4

 <sup>7

2</sup>^cos
+ i sin

^7  _{= 4}

i ⁷ 

2e ^{4 .}


_ 4 4 _

Muavr düsturunu kompleks ədədin üstlü şəkildə yazılışından da istifadə etməklə isbat etmək olar.

Kompleks ədədin n-ci dərəcədən kökü

^{z = r(cos + i sin)} kompleks ədədindən n -ci dərəcədən

kök almaq elə w = (cos + i sin  ) kompleks ədədini tapmaq deməkdir ki, wⁿ = z

 ⁿ (cos n + i sin n ) = r(cos + i sin ).

olsun. Yəni

Buradan:
 ⁿ = r , n =  + 2k ,
k  Z ;

 = ,  = ^{ + 2k} ,

n

w = ^{n }



 + 2k

^{ + 2k} 

burada k = 0;1;2;...;(n 1).

_k ^r ^cos

_ n

+ i sin

 ^{, (10)}

n _

Deməli, wⁿ = z

tənliyinin n kökü var.

Nümunələr 1.

x³ = 8 tənliyinin köklərini tapaq.

Həlli. I üsul. x³  2³ = 0  (x  2)(x ² + 2x + 4) = 0 

_ ^{x  2 = 0,}

_ _^{x1 = 2,}


x


^{ 2} + 2x + 4 = 0

^{x1 = 2,}



_^D = b²

– 4ac = 4 16 = 12,

D = 2 3i

II üsul.







^_^x2

₌  2 + 2

2

³ⁱ = 1+
3i, x<sub>3

=</sub>  2  2

2

³ⁱ = 1
3i.

x = = =

=  ^cos ^2k + i sin ^{2k }, k = 0;1;2 .

Buradan: k = 0 olduqda

 

_ 3 3 _

x₁ = 2 ;

 ^{2 2}  ^{ 1 }




k = 1 olduqda

^{x2 = 2}^{cos + i sin}  ^{= 2 + i  = 1 +}

3i;

k = 2 olduqda



x₃ = 1

3

3i .

3 _{ } 2 2 _

2.

Həlli.  8  8

-i hesablayaq:

3i kompleks ədədi 3-cü rübün nöqtəsinə uyğundur.

r = = 16, cos =  ¹ ,sin =  ³ 

2 2

  = ^4  8  8 3i =

 ^{4 4} 


¹⁶^{cos  + i sin  ,}

3 _ 3 3 _

^  ⁴   ⁴ ^

^  ^{ + 2k} 

3

 ^{ + 2k} ^

3

= 2^cos^{ } + i sin^{ },

k = 0;1;2;3.

w = <sup> 

</sup>  4 





 

 
^   ^5

 4 ^


 

^{ }
^5 

₀ ²^{cos + i sin}  ^{= 1 +}

3 3

^{3i w1 = 2}^cos ₆

+ i sin

 ^{= }

6

+ i ;

 

_{w =}  ^4

 

^4 

₂ ²^cos

_ 3

+ i sin

 ^{= 1}

3 _

3i ;

_{w =}  <sup>11

11</sup> 

₃ ²^cos

_ 6

^{+ i sin}  ⁼

6 _

– i .

Ədəbiyyat

1. 
   A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, I hissə, Bakı, 2006.
   
2. 
   A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, II hissə, Naxçıvan, 2008.
   
3. 
   A.İ.Həsənov - Riyaziyyat, III hissə, Naxçıvan, 2015.
   
4. 
   Ə.M.Məmmədov, R.Y. Şükürov, Elementar riyaziyyat, Bakı, 2010.
   
5. 
   R.İ. Muradov, Məktəb riyaziyyat kursunun elmi əsasları, Bakı, 2007.
   
6. 
   А.Г. Мордкович- Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, Москва, 2009.
   
7. 
   В.А. Битнер, Краткий курс школьной математики, Санкт-Петербург,2007.
   
8. 
   Е.В. Хорошилова, Элементарная математика, часть 1, 2., Mocква, 2010 .
   
9. 
   M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 10-cu sinif, Bakı, 2003.
   
10. 
    M.C. Mərdanov və başqaları, Cəbr və analizin başlanğıcı, 11-ci sinif, Bakı, 2007.
    
11. 
    R.H. Məmmədov və başqaları Riyaziyyat, I, II hissə. Bakı, 1976.
    
12. 
    А.Г. Цыпкин  Справочник по математике. М., Наука, 1984.