Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Kompleks ədədlərin nümunələri

Kompleks ədəd	Həqiqi	hissə	Xəyali hissə
3 + 2i	Re(3 + 2i) = 3		Im(3 + 2i) = 2
– 2 + 3i	Re(2 +	3i) = 2	Im(2 + 3i) =	3
5 + 0  i	Re(5 + 0  i) = 5		Im(5 + 0  i) = 0
– 2i	Re( 2i) = 0		Im( 2i) = 	2

Əgər

a = 0 olarsa,

z = a + bi

kompleks ədədi sırf xəyali bi ədədinə

(0 + bi = bi) ,

b = 0

olarsa, a həqiqi

ədədinə (a + 0 i = a) çevrilir.

a = 0 və b = 0 olarsa, z = 0 və ya z = 0 olarsa, a = 0 , b = 0 .

Kompleks ədədlər ancaq bərabərliyə görə müqayisə olunur. ədədlər çoxluğunda istifadə edilmir.

<, >, , 

müqayisə işarələrindən kompleks

Nümunələr. 0 + 5i = 5i ; 8,1+ 0  i = 8,1; 0 + 0  i = 0 .

Kompleks ədədlər çoxluğu C hərfi ilə işarə edilir.

a + bi

və a  bi

Qoşma kompleks ədədlər. Kompleks ədədin modulu

kompleks ədədləri qarşılıqlı qoşma kompleks ədədlər adlanır.

z kompleks ədədinə qoşma olan kompleks ədəd z kimi işarə edilir. Qoşma kompleks ədədlərin hasili həqiqi ədəddir.

Nümunə.

z = 2 + 3i

isə, onda

z = 2  3i;

z = 3  4i

isə, onda

z = 3 + 4i .

z = z bərabərliyi yalnız və yalnız xəyali hissə b = 0 olduqda doğrudur.

ədədi z = a + bi kompleks ədədinin modulu adlanır və

r = z

kimi işarə edilir:

z = və ya r = .

Nümunə.

4 + 3i =

= 5 ; 1 + i = = .

Kompleks ədədin moduluna verilən tərifdən aydındır ki, istənilən z kompleks ədədi üçün z  0 . Həm də yalnız

və yalnız a = 0, b = 0 olduqda z = 0 olur.

İstənilən z və w kompleks ədədləri üçün:

bərabərlikləri doğrudur.

z = z ;

z  z = z ² ;


z + w = z + w ;


z  w = z  w

Doğurdan da, z = a + bi və verilən tərifə görə:

w = c + di olarsa, onda

z = a  bi və

w = c  di

olar. Kompleks ədədin moduluna

z = a  bi = = = z ;

z  z = (a + bi)(a  bi) = a ²  (bi) ² = a ² + b ² =

z ² ;

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i =

= (a + b)  (b + d)i = (a  bi) + (c  di) = z + w .

Axırıncı bərabərliyi müstəqil isbat edin.

Kompleks ədədlər üzərində toplama və vurma əməllərinin xassələri. Çıxma və bölmə əməlləri

z,, w

Kompleks ədədlər üzərində toplama və vurma əməllərinin xassələri həqiqi ədədlərdə olduğu kimidir. İstənilən kompleks ədədləri üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

1. 
   z + w = w + z (toplamada yerdəyişmə qanunu);
   
2. 
   (z + w) +  = z + (w + ) (toplamada qruplaşdırma qanunu);
   

3) z + 0 = z ;

4. 
   z  w = w  z (vurmada yerdəyişmə qanunu);
   
5. 
   (z  w)  = z  (w ) (vurmada qruplaşdırma qanunu);
   

6) z 1 = z ;

7) (z + w)  = z  + w

(vurmada paylama qanunu).

Bu xassələri müstəqil isbat edin. Nümunələr. 1. z = 3 + 4i və  = 5  8i
kompleks ədədlərinin cəmini tapaq:

z +  = (3 + 4i)+ ( 5  8i) = (3 + (5)) + (4 + (8))i = 2  4i .

2. a)

z = a + bi

və  = c + di ; b)

z = 2 + 4i və w = 6  4i kompleks ədədlərinin hasilini tapaq:

1. 
   z   = (a + bi)  (c + di) = ac + adi + bci + bdi ² = (ac  bd) + (ad + bc)i ;
   

b) z  w = (2 + 4i)  (6  4i) = ((2)  6  2  (4i)) + 4i  6 + 4i  (4i) = 12 + 8i + 24i + 16 = 4 + 32i .

2. 
   2  3i və 2 + 3i qoşma kompleks ədədlərinin hasilini tapaq:
   

(2  3i)  (2 + 3i) = 2²  (3i)² = 4  (9) = 13 .

(1)  z

kompleks ədədi z kompleks ədədinə əks kompleks ədəd adlanır və

– z kimi işarə edilir. Əgər

z = a + bi

olarsa,  z = a  bi

olur.

İstənilən z kompleks ədədi üçün z + (z) = 0 bərabərliyi ödənilir.

z  w = 1 bərabərliyini ödəyən z və w kompleks ədədləri qarşılıqlı tərs kompleks ədədlər adlanır.

Kompleks ədədlər üzərində toplama və vurma əməllərinin yerinə yetirilməsi qaydası və xassələri ilə tanış olduq.

Kompleks ədədlər üzərində çıxma və bölmə əməli də təyin edilir.

Kompleks ədədlər çoxluğunda çıxma əməli kompleks ədədlərin toplama əməlinin əksi kimi təyin edilir və

istənilən

z = a + bi

və  = c + di kompleks ədədlərinin fərqi z   kimi işarə edilir:

z   = z + () = (a + bi) + ( c  di) = (a  c) + (b  d)i .

Nümunə.

z = 4 + 2i və  = 5  6i kompleks ədədlərinin fərqini tapaq:

z   = (4 + 2i) (5  6i) = (4  5) + (2  (6))i = 1+ 8i .

Kompleks ədədlər çoxluğunda bölmə əməli kompleks ədədləri vurma əməlinin tərsi kimi təyin edilir. İstənilən

z = a + bi

kompleks ədədinin  = c + di  0

kompleks ədədinə nisbəti (bölünməsi)

^z kimi işarə edilir:



z ₌ a + bi ₌ (a + bi)(c  di) ₌ (ac + bd ) + (bc  ad)i ₌



ac + bd

₊ bc  ad _{i .}

 c + di

(c + di)(c  di)

c² + d ²

c ² + d ²

c ² + d ²

Nümunə: a)

3  5i _{; b)}

1 + 2i

a)

kompleks ədədlərinin nisbətini tapaq:

3  5i ₌ (3  5i)(1  2i) ₌ (3 1  5  2) + (5 1  3  2)i ₌

1 + 2i

(1 + 2i)(1  2i)

1² + 2²

₌ (3 10) + (5  6)i ₌  7 11i _{= } 7 _ 11 _{i ;}

1 + 4

5 5 5

_{b) =} (2 

3i)(2 

3i) ₌ 4  3 _ 4 3i ₌ 1 _ 4

³ i .

(2 +

3i)(2 

_3i) 4 + 3 4 + 3 7 7

Kompleks ədədi qüvvətə yüksəltmə. Kompleks ədədin kvadrat kökü

Kompleks ədədi qüvvətə yüksəltmə. i ² = 1 olduğunu nəzərə alıb kompleks ədədlər üzərində vurma əməlinə verilən tərifə görə aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik:

i³ = i ²  i = (1)i = i ;

i⁴ = i ²  i ² = (1)  (1) = 1 ;

i⁵ = i⁴  i = i ;

i⁶ = i⁴  i² = i² = 1 ;

i ⁷ = i ⁴  i³ = 1 (i) = i ;

i⁸ = i⁴  i ⁴ = 11 = 1 ;

i⁴ⁿ = 1 ;

_i4n+1 _{= i ;}

i⁴ⁿ⁺² = 1 ;

i ⁴ⁿ⁺³ = i .

i = ^{i  i} = ¹ ; i⁰ = ⁱ = ^{i  i} = ^1 = 1.

i i i i  i 1

Ümumiyyətlə
i ⁿ = i^4k+m = i ^4k  i^m = (i ⁴ )^k  i^m = i^m
( n, m, k = 0,1,2,...,).

Nümunə. i ²⁷ = (i ⁴ )⁶  i³ = 1 i³ = i³ = i .

Xəyali vahidin qüvvətlərini nəzərə almaqla, kompleks ədədlərin qüvvətə yüksəldilməsi ikihədlilərin qüvvətə yüksəldilməsi kimi həyata keçirilir:

(a + bi)² = a² + 2abi + b²i² = (a²  b² ) + 2abi ;

(a  bi)² = a²  2abi + b²i² = (a²  b² )  2abi ;

(a + bi)³ = a³ + 3a²bi + 3a(bi)² + (bi)³ = (a³  3ab² )+ (3a²b  b³ )i ;

(a  bi)³ = a³  3a ²bi + 3a(bi)²  (bi)³ = (a³  3ab² )+ (3a ²b + b³ )i .

Nümunə. a) (3  2i)² ; b) (1  3i)³ qüvvətini hesablayaq:

a) (3  2i)² = 9  2  3  2i + ( 2i)² = (9  4)  12i = 5  12i ;

b) (1 3i)³ = 1³  31² 3i + 31(3i)²  (3i)³ =

1 9i  27 +

+ 27i = 26 +18i .

Onda: