Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

həqiqi kökü yoxdur.

n=2 olduqda kökün dərəcəsi yazılmır, şəklində yazılır.

olduğundan mənfi ədədin cüt dərəcədən

Verilən təriflərdən aydın olur ki, 1) istənilən mənfi olmayan a həqiqi ədədinin n-ci dərəcədən yeganə hesabi kökü var və bu kök cəbri köklə üst-üstə düşür; 2) istənilən mənfi a həqiqi ədədinin tək (n=2k+1) dərəcədən yeganə mənfi cəbri kökü var.

Hesabi kökün xassələri.

n və m natural ədədlər, a və b mənfi olmayan istənilən həqiqi ədədlər olduqda aşağıdakı xassələr doğrudur.

nm

1. =

· . 2.

= , (b  0) . 3.

= a .

_4. nk _amk
= ⁿ a^m , (k  N , k  2) . 5.

= (ⁿ a )m . 6.

a < b olarsa, < .

7. İstənilən a həqiqi ədədi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

=
 a ,



n = 2k

olduqda,

_a, n =

2k + 1 olduqda.

Qeyd. Yadda saxlamaq lazımdır ki, istər hesabi kökün dərəcəsi, istər cəbri kökün dərəcəsi 1-dən böyük natural ədədlərdir.

Rasional üstlü qüvvət və onun xassələri

m

Tərif. a istənilən müsbət ədəd, m tam, n natural ədəd olduqda a ⁿ

m

ifadəsinə rasional üstlü qüvvət deyilir və

a ⁿ = ⁿ a^m kimi hesablanır.

1

Verilən tərifə görə: a ⁿ

m

= ⁿ a ;

m

m

1 ⁿ = 1; qüvvətin əsası a=0 olarsa, onda rasional üstlü qüvvətin yalnız qüvvətin

üstü

> 0 olduqda mənası olur:

n

0 ⁿ = 0 .

^m qüvvətin üstünün müəyyən qiymətlərində a istənilən mənfi ədəd olduqda rasional üstlü qüvvəti təyin etmək

n

olar. Belə ki,

m ₌ m

(k  N ) və ya

m ₌ 2k

(k  Z )

n 2k + 1 n n

m

olduqda a ⁿ rasional üstlü qüvvətinin a-nın mənfi qiymətlərində də mənası var. Ancaq xüsusi olaraq qeyd edək ki,

məktəb riyaziyyatında rasional üstlü qüvvətin əsasını müsbət qəbul edirlər.

2

Məsələn. 1.

8³ = ³ 8²

= ³ 64²

= ³ 4³

= 4 .

3

2. 81⁴

= (⁴ 81)3

^{= } ^{4 34 }
= 3³ = 27 . 3.

_– 5 ₁

9 ² =

^{1 1} = 3^{5 .}

=



=

3
  ⁵

 ^{2 2}  ³⁵




₉ ²  ³ 


5
Rasional üstlü qüvvətin xassələri. Tutaq ki, a və b müsbət həqiqi ədədlər, p və q rasional ədədlərdir. Onda aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

^aq  ^a  ^{p a p}

1. a ^p  a^q = a ^p+q . 2.

(a  b) ^p = a ^p  b ^p . 3.

= a^{q p} . 4.

(a ^p )^q = a ^pq .

^5.   ^{= .}

^{a p}  ^b  ^{b p}

6. Əgər

0 < a < b və

p > 0

olarsa, onda

a ^p < b ^p ; əgər

0 < a < b ,

p < 0 olarsa,

a ^p > b ^p ; əgər

0 < a < 1 və

p > q

olarsa, onda a ^p < a^q .

İrrasional üstlü qüvvət və onun xassələri

a müsbət həqiqi ədəd, p irrasional ədəd olduqda a ^p

ədədi üçün mənası var.

ifadəsi irrasional üstlü qüvvət adlanır və istənilən p irrasional

a ^p irrasional üstlü qüvvətin qiymətinin hesablanması.

1. 
   a = 1 olarsa, p irrasional ədədi üçün 1^p = 1 .
   

2. 
   a = 0, p > 0 irrasional ədədi üçün
   

0 ^p = 0 .

a = 0, p < 0 olduqda

0 ^p -ifadəsinin mənası yoxdur.

3. 
   Tutaq ki,
   

r₁  r₂  ...  r_n ... ədədlərinin n  

olduqda limiti

p irrasional ədədinə bərabərdir. Onda

a > 0, a  1

həqiqi və p

irrasional ədədi üçün

a ^p irrasional üstlü qüvvətin qiyməti

n  

olduqda

a ^r1 , a^r2 , ..., a^rn ...

ardıcıllığının limitinə bərabər olan qiyməti başa düşülür:

p = lim r

olduqda

a ^p = lim a^rn .

n+ ⁿ

n+

Rasional üstlü qüvvətin 1-6 xassələri irrasional üstlü qüvvət üçün də döğrudur.

Məlum olduğu kimi rasional və irrasional ədədlər çoxluqlarının birləşməsi həqiqi ədədlər çoxluğunu əmələ

gətirir. Deməli, istənilən x həqiqi ədədi və a müsbət həqiqi ədədi üçün a ^x ifadəsinin mənası var. Ona görə də rasional və

irrasional üstlü qüvvət anlayışlarını birləşdirərək həqiqi üstlü qüvvət anlayışı daxil edilir.

Rasional üstlü qüvvətin 1-6 xassələri həqiqi üstlü qüvvət üçün də döğrudur.

Ədədin loqarifması

a > 0 (a  1), b > 0, c -istənilən həqiqi ədəd olduqda b = a^c

bərabərliyindən qüvvətin əsası a və c verildikdə b-ni,

həmçinin b və c verildikdə qüvvətin əsası a-nın tapılması qaydaları ilə tanışıq. İndi isə a və b verildikdə c-nin (qüvvət üstünün) tapılması əməli ilə tanış olaq.

Qüvvətin əsası və qüvvətin qiyməti verildikdə qüvvət üstünün tapılması əməli loqarifma adlanır.

Tərif. Müsbət b ədədini almaq üçün müsbət müsbət a

(a  1) ədədinin yüksəldildiyi qüvvət üstünə b ədədinin a

əsasına görə loqarifması deyilir və log_a b

kimi işarə edilir.

Loqarifmaya verilən tərifə görə b = a^c

Buradan

isə, onda с = log _a b .
b = a^c  b = a ^{loga b} .

bərabərliyi alınır. Bu bərabərlik əsas loqarifmik eynilik adlanır.

Məsələn, 27 = 3^x bərabərliyindən x=3. Loqarifmaya verilən tərifə görə x = log₃ 27 = 3 .

Onluq və natural loqarifma. Elmi-texniki hesablamalarda əsasən onluq və natural loqarifmadan istifadə edilir. Əsası 10 olan loqarifmaya onluq loqarifma deyirlər. Loqarifmanın log₁₀ b ümumi yazılışından fərqli olaraq,

onluq loqarifma qısa olaraq lg b kimi yazılır.

Riyaziyyatda iki məşhur ədədlərdən biri e ədədidir. e irrasional ədədidir və e=2,7182818284 Əsası e ədədi

olan loqarifmaya natural loqarifma deyirlər və qısa olaraq log _e b əvəzinə ln b kimi yazılır.

Loqarifmanın xassələri.

Loqarifmik ifadələrin çevrilməsində, hesablanmasında, həmçinin loqarifmik tənliklərin, bərabərsizliklərin həllində loqarifmanın xassələrindən istifadə edilir.

a > 0 (a  1), x > 0, y > 0 olduqda aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

1. 
   Ədədin öz əsasına görə loqarifması 1-ə bərabərdir: log_a a = 1.
   

2. 
   Loqarifması 1-ə bərabər ədəd onun əsasına bərabərdir, yəni
   

log _a x = 1 olarsa, x=a.

3. 
   Vahidin istənilən əsasa görə loqarifmi o-a bərabərdir: log_a 1 = 0 .
   
4. 
   a > 1, b > 1 olarsa, log_a b > 0 ; a > 1, b < 1 olarsa, log_a b < 0 ; a < 1, b > 1 olarsa, log_a b < 0 ; a < 1, b < 1 olarsa, log_a b > 0 .
   

5. 
   _a log _a b₁b₂ ...b_k
   

= b₁b₂

 ...  b_k .

6. 
   a
   

log ^b


a a
c ₌

log _a b

= ^b .

_a log _a c _c

7. 
   log _a xy = log _a x + log _a y
   

(hasilin loqarifması).

8. 
   log_a
   

^x = log

_y a

x  log_a

y (nisbətin loqarifması).

9. 
   log _a x ^p = p log _a x
   

(qüvvətin loqarifması; burada p istənilən həqiqi ədəddir).

10. 
    
    

log_aq

x = ¹ log x _q a

(burada q istənilən həqiqi ədəddir).

11. 
    
    

log_aq

x ^p = ^p log

_q a
x (burada p və q istənilən həqiqi ədəddir).

12. 
    
    

log

_{x =} log_c x

(burada c > 0, c  1 ). Bu, bir əsasdan başqa əsasa keçmə düsturdür.

c
^a log a

13. 
    
    

log_a

x = ¹ log _x a

(x  1) . Yəni log _a

x və log _x
a qarşılıqlı tərs ədədlərdir.

Bu xassələri müstəqil isbat edin.
Ədədi bərabərliklər və xassələri

İstənilən iki a və b həqiqi ədədlərinin müqayisəsində üç haldan biri doğrudur: 1) a=b; 2)

a > b ; 3)

a < b .

Birinci halda ədəd oxu üzərində bu ədədlər bir nöqtə ilə işarə edilir. İikinci halda b ədədi a ədədindən solda yerləşir. Üçüncü halda b ədədi a ədədindən sağda yerləşir.

Ədədi bərabərliklərin xassələr. Əgər iki a və b həqiqi ədədləri a=b bəabərlik işarəsi ilə bir-birinə bağlanarsa, onda ədədi bərabərlik verilmişdir deyilir.

Tutaq ki, a, b, c və d istənilən həqiqi ədədlərdir. Ədədi bərabərliklər üçün aşağıdakı xassələr doğrudur.

1. 
   a = b  b = a (kommutativlik xassəsi).
   
2. 
   a = b, b = c  a = c (tranzitivlk xassəsi).
   
3. 
   a = b, c = d  a + c = b + d .
   
4. 
   a = b, c = d  a  c = b  d .
   
5. 
   a = b  a + c = b + c .
   

6. a = b  a  c = b  c (c  0) .

7. a = b (a  0, b  0)  aⁿ = bⁿ (n  N ) .