Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Mühazirə 3

Elementar riyaziyyat 1.

Mühazirə 3.

Tərtib etdi A. Həsənov

1. 
   Hesabın əsas teoremi. Natural ədədin kanonik yazılışı.
   
2. 
   Natural ədədlərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) və ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB), onların xassələri. ƏBOB və ƏKOB-un kanonik təsviri. Evklid alqoritmi
   
3. 
   Ədədin bölənlərinin sayı və bölənləri cəmi.
   
4. 
   Riyazi induksiya metodu və onun tətbiqi.
   
5. 
   Vilson teoremi. Fermanın kiçik teoremi.
   
6. 
   Rasional ədədlər. Onluq kəsrlər. İrrasional ədədlər Həqiqi ədədlər. Ədəd oxu. Həqiqi ədədlərin mütləq qiyməti.
   
7. 
   Ədədin tam və kəsr hissəsi.
   

Hesabın əsas teoremi. Natural ədədin kanonik yazılışı

Teorem 1-dən böyük istənilən tam ədədi sadə vuruqların hasilinə ayırmaq olar və bu ayrılış yeganədir.

İsbatı. Tutaq ki, a tam ədədi 1-dən böyükdür.

Əvvəlcə isbat edək ki, bu ədədi sadə vuruqların hasili şəklində göstərmək olar. Tutaq ki, a ədədinin 1-dən fərqli

ən kiçik müsbət böləni

p₁ -dir və məlum teoremə görə

p₁ sadə ədəddir. Bölmə əməlinə verilən tərifə görə elə

a₁ tam

ədədi var ki,

a = a₁  p₁ . Əgər

a₁ vuruğu sadə ədəddirsə, onda teorem isbat edilmiş olar. Əgər

a₁ vuruğu mürəkkəb

ədəddirsə, onda onun ən kiçik sadə müsbət

p₂ böləni var:

a₁ = a₂  p₂  a = p₁  p₂  a₂ . Əgər a₂

vuruğu sadə

ədəddirsə, onda teorem isbat edilmiş olar. Əgər a₂ vuruğu mürəkkəb ədəddirsə, onda onun ən kiçik sadə müsbət p₃

böləni var: a₂ = a₃  p₃  a = p₁  p₂  p₃  a₃ . Proses bu qayda ilə a_n = 1 alınana qədər davam edir:

a = p₁  p₂  p₃  ...  p_n .

n = 1

olduqda

a = p₁

alırıq. Bu a-nın sadə ədəd olduğu hala uyğundur. Qeyd etək ki, bu ayrılışda

p₁  p₂  ...  p_n .

İndi isə bu ayrılışın yeganə olduğunu isbat edək.

Tutaq ki, a-ədədinin

a = p₁  p₂  ...  p_n

sadə vuruqlara ayrılışı ilə yanaşı,

q₁ , q₂ ,..., q_m

sadə ədədlərinə uyğun

digər a = q₁  q₂  ...  q_m

şəklində sadə vuruqlara ayrılışı da vardır. Onda

p₁  p₂  ...  p_n = q₁  q₂  ...  q_m .

Göstərək ki,

n  m

olduqda belə ayrılış mümkün deyil,

n = m

olduqda isə

p₁  p₂  ...  p_n

və q₁  q₂  ...  q_m

hasilləri eynilkilə bərabərdir. Axırıncı bərabərliyin sağ tərəfi

q₁ -ə bölündüyündən sol tərəfin

p₁ , p₂ ,..., p_n vuruqlarından

biri

q₁ -ə bölünməlidir. Fərz edək ki,

p₁ vuruğu

q₁ -ə bölünür. Ancaq

p₁ və

q₁ sadə ədədlər olduğundan

p₁ = q₁ . Ona

görə də

p₁  p₂  ...  p_n = q₁  q₂  ...  q_m

bərabərliyinin hər iki tərəfini

p₁ = q₁ -ə ixtisar edə bilərik. Nəticədə

p₂  ...  p_n = q₂  ...  q_m

alırıq. Analoji mühakimə ilə olduğu hal üçün

p₃  ...  p_n = q₃  ... q_m

bərabərliyini alırıq. Prosesi bu qayda ilə davam etdiririk.

1 = q_n+1  ...  q_m

n < m

alınır ki, bu da mümkün deyil. Çünki, q_n+1 ,..., q_m

vahiddən fərqli sadə ədədlərdir.

n = m olduğu halda isə, 1 = 1 alınır. Bu da

a = p₁  p₂  ...  p_n və a = q₁  q₂  ...  q_m

ayrılışlarının eynilklə bərabə olduğunu göstərir. Bununla da yeganəlik isbat olundu.

a = p₁  p₂  ...  p_n

sadə vuruqlara ayrılışında vuruqlar təkrarlana bilər. Onda ədədin qüvvəti anlayışından istifadə

edərək ayrılışı daha kompakt yazmaq olar. Tutaq ki, təkrarlanır və k₁ + k ₂ + ... + k_i = n . Onda

p₁ vuruğu

k₁ dəfə,

p₂ vuruğu k₂

dəfə və s.

p_i vuruğu k_i

dəfə

a = p^k1  p^k2  ...  p^ki

1 2 i

yaza bilərik. Bu şəkildə yazılış natural ədədin kanonik yazılışı adlanır. Burada

p₁ < p₂ < ... < p_i və k₁ , k ₂ ,..., k_i  N .

deyilir.

Tərif. a₁ , a₂ ,..., a_n

Natural ədədlərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) və ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB), onların xassələri

natural ədədlərindən hər biri b natural ədədinə bölünərsə, onda b-yə bu ədədlərin ortaq böləni

Məsələn, 24 və 18 ədədlərinin ortaq bölənləri 1, 2, 3, 6-dır. Qeyd edək ki, 1-istənilən ədədin ortaq bölənidir.

Tərif.

deyilir və

a₁ , a₂ ,..., a_n

natural ədədlərinin ortaq bölənlərindən ən böyüyünə bu ədədlərin ən böyük ortaq böləni

(a₁ , a₂ ,..., a_n ) və ya ƏBOB (a₁ , a₂ ,..., a_n )

kimi işarə edilir.

Verilmiş iki a və b ədədlərindən biri digərinin böləni olarsa, yəni a ədədi b-yə bölünərsə, onda ƏBOB(a,b)=b.

Verilmiş a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədlərindən hər biri bu ədədlərdən birinə tam bölünərsə, məsələn, a_i

ƏBOB (a₁ , a₂ ,..., a_i ,..., a_n ) = a_i

Məsələn, 6, 24 və 18 ədədlərinin ƏBOB-u 6-dır.

-yə Onda

Tərif. Əgər (a₁ , a₂ ,..., a_n ) = 1 olarsa, onda a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədləri qarşılıqlı sadə ədədlər adlanır.

Məsələn, ƏBOB (24, 35)=1 olduğundan 24 və 35 ədədləri qarşılıqlı sadə ədədlərdir. ƏBOB (a₁ , a₂ ,..., a_n ) -nin tapılmasının standart alqoritmi aşağıdakı kimidir:

1. 
   a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədlərindən hər birini sadə vuruqlara ayırırıq;
   
2. 
   a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədlərindən hər birinə daxil olan sadə vuruqları seçirik;
   
3. 
   seçilmiş sadə vuruqları bir-birinə vurmaqla a₁ , a₂ ,..., a_n ədədlərinin ƏBOB-nu tapırıq.
   

Teorem. Əgər a = b  q + c olarsa, onda (a,b)=(b,c).

İsbatı. a = b  q + c şərtinə görə aydındır ki, a və b ədədlərinin ortaq bölənləri həm də c ədədinin bölənləridir. Həmçinin a = b  q + c şərtindən b və c ədədlərinin ortaq bölənləri həm də a ədədinin bölənləridir.

Beləliklə,

a = b  q +c

şərti ödənildikdə a və b ədədlərinin ortaq bölənləri ilə b və c ədədlərinin ortaq bölənləri

eynidir. Ən böyük ortaq bölən də bu bölənlər içərisində olduğundan (a,b)=(b,c).

Evklid alqoritm. ƏBOB-un tapılmasında tətbiq edilən üsullardan biri də Evklid alqoritmidir. Tutaq ki, a və b

natural ədədləri verilmişdir və a > b . Qalıqlı bölmə haqqındakı teoremə görə aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik.

a = b  q₁ + r₁ , 0 < r₁ < b .

Əgər r₁ = 0 olarsa, onda (a,b)=b. 0 < r₁ < b olduqda proses davam etdirilir.

b = r₁  q₂ + r₂ , 0 < r₂ < r₁ .

Əgər

r₂ = 0 olarsa, onda (b, r₁ ) = r₁  (a, b) = r₁ . 0 < r₂ < r₁

olduqda proses davam etdirilir. Beləliklə, proses qalıqda sıfır

alınana qədər davam etdirilir. Fərz edək ki, n-ci addımda r_n = 0 . Onda

^rn2 ^{= r}n1 ^{ q}n ^{+ r}n ^,

r_n = 0 , (a, b) = r_n1 .

Yuxarıda şərh edilən prosesin ardıcıllığı aşağıdakı kimidir:

a = b  q₁ + r₁ , b = r₁  q₂ + r₂ , r₁ = r₂  q₃ + r₃ ,

r₂ = r₃  q₄ + r₄ ,

^rn2 ^{= r}n1 ^{ q}n ^,
0 < r₁ < b .

0 < r₂ < r₁ .

0 < r₃ < r₂ ,

0 < r₃ < r₂ ,

r_n = 0 .

(a, b) = (b, r₁ ) = (r₁ , r₂ ) = ... = (r_n2 , r_n1 ) = r_n1 .

Tərif. b natural ədədi bölünəni deyilir.

a₁ , a₂ ,..., a_n

natural ədədlərindən hər birinə bölünərsə, onda b-yə bu ədədlərin ortaq

Məsələn, 72 ədədi həm 24-ə, həm də 18-ə bölündüyündən 24 və 18-in ortaq bölünənidir.

Tərif. Verilmiş

a₁ , a₂ ,..., a_n

natural ədədlərinin ortaq bölünənləri içərisində ən kiçiyinə bu ədədələrin ən kiçik

ortaq bölünəni deyilir və
kimi işarə edilir.
ƏKOB (a₁ , a₂ ,..., a_n ) və ya [a₁ , a₂ ,..., a_n ]

ƏKOB (a₁ , a₂ ,..., a_n ) -nin tapılmasının standart alqoritmi aşağıdakı kimidir:

1. 
   a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədlərindən hər birini sadə vuruqlara ayırırıq;
   
2. 
   a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədlərinin vuruqları içərisindən qüvvəti ən yüksək olanlarını seçirik;
   
3. 
   seçilmiş vuruqları bir-birinə vurmaqla a₁ , a₂ ,..., a_n natural ədədlərinin ƏKOB-nu tapırıq.
   

ƏBOB və ƏKOB-un xassələri. İstənilən a, b, c, d natural ədədləri üçün aşağıdakı xassələr doğrudur. Bu xassələri müstəqil isbat edin.

1. 
   ƏBOB(a,b)=ƏBOB(b,a); ƏKOB(a,b)=ƏKOB (b,a).
   
2. 
   ƏBOB (a, b)  ƏKOB (a, b) = a  b . Xüsusi halda ƏBOB (a, b) = 1 olarsa, ƏKOB (a, b) = a  b .
   
3. 
   Əgər ƏBOB (a, b) = k olarsa, onda elə c və d natural ədədləri var ki, a = c  k, b = d  k  (c, d ) = 1.
   

4. 
   ƏBOB (a, b) = 1 olarsa, onda ixtiyari m və n natural ədədləri üçün (a^m , bⁿ ) = 1 .
   
5. 
   Əgər a ədədi b ədədinə tam bölünərsə, ƏBOB (a, b) = b və ƏKOB (a, b) = a .