Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Paskal əlamətindəm istifadə edərək bəzi ədədlərə bölünmə əlamətlərini isbat edək.

2. 
   yə bölünmə əlaməti.
   

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 2-yə bölünməsi üçün onun axırıncı rəqəminin ( a₀ -ın)

cüt natural ədəd olması zəruri və kafidir.

Müstəqil isbat edin.

2. ə bölünmə əlaməti.

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 3-ə bölünməsi üçün onun rəqəmləri cəminin əmələ

gətirdiyi ədədin ( a₀ + a₁ + ... + a_n -in) 3-ə bölünməsi zəruri və kafidir.

İsbatı.

10  1mod(3),10²  1mod(3),...,10ⁿ  1mod(3) . Deməli,

r_i = 1, (i = 1,2,..., n) . Paskal əlamətinə görə

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin m=3-ə bölünməsi üçün

B = a_n + a_n1 + ... + a₁ + a₀

cəmi 3-ə bölünməlidir. Teorem isbat edildi.

2. ə bölünmə əlaməti.

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 4-ə bölünməsi üçün onun axırıncı iki rəqəminin sıfır

olması və ya axırıncı iki rəqəminin əmələ gətirdiyi a₁a₀

ikirəqəmli ədədin 4-ə bölünməsi zəruri və kafidir.

İsbatı.

10  2 mod(4),10²  0 mod(4),...,10ⁿ  0 mod(4) . Deməli,

r₁ = 2, r_i

= 0 (i = 2,3,..., n) . Paskal əlamətinə

görə


A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin m=4-ə bölünməsi üçün

B = 2a₁ + a₀

cəmi 4-ə bölünməlidir.

A  B = (a_n a_n1...a₂ 10² ) + (10a₁ + a₀ )  (2a₁ + a₀ ) =

= (a_n a_n1...a₂ 10² ) + 8a₁ .

Axırıncı bərabərliyin sağ tərəfindəki 4-ə bölünür.

(a_n a_n1...a₂ 10² )

və 8a₁ toplananlarının hər biri 4-ə bölünür. Deməli,

A  B

fərqi

Şərtə görə isə B = 2a₁ + a₀ ədədi də 4-ə bölünür. Ona görə də (10a₁ + a₀ ) = a₁a₀ 4-ə bölünür. Teorem isbat edildi.

2. ə bölünmə əlaməti.

olması zəruri və kafidir.

Müstəqil isbat edin.

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 5-ə bölünməsi üçün onun axırıncı rəqəminin 0 və ya 5

6-a bölünmə əlaməti. A natural ədədinin 6-ya bölünməsi üçün onun 2-yə və 3-ə bölünməsi zəruri və kafidir.

Zəruriliyin isbatı. Tutaq ki, A natural ədədi 6-ya bölünür. Ona görə də ədəddir. 6  B ədədi həm 2-yə, həm də 3-ə bölünür. Zərurilik isbat edildi.

A = 6  B . Burada B hər hansı natural

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki, A natural ədədi həm 2-yə, həm də 3-ə bölünür. A natural ədədi 2-yə bölündüyündən

elə C natural ədədi var ki,

A = 2  C . A natural ədədi 3-ə bölündüyündən

2  C ədədi 3-ə bölünməlidir. 2-ədədi 3-ə

bölünmür. Məlum teoremə görə C ədədi 3-ə bölünməlidir. Yəni elə D ədədi var ki,

A = 2  C = 2  3  D = 6  D . Kafilik isbat edildi.

C = 3  D

. Beləliklə,

7. 
   ə bölünmə əlaməti. 1. A = a_n a_n1 ...a₁a₀
   

bölünməsi zəruri və kafidir.

natural ədədinin 7-yə bölünməsi üçün

a_n a_n1 ...a₁ + 5a₀ ədədinin 7-yə

Zəruriliyin isbatı. Tutaq ki, A natural ədədi 7-yə bölünür. İsbat edək ki, bölünür.
a_n a_n1 ...a₁ + 5a₀

ədədi də 7-yə

B = a_n a_n1...a₁

işarə edək. Onda

A = a_n a_n1 ...a₁ 10 + a₀ = 10B +a₀

yaza bilərik. Şərtə görə

10B + a₀

ədədi 7-yə

bölünür. Deməli, 50B + 5a₀ ədədi də 7-yə bölünür. 49B + B + 5a₀  B + 5a₀ ədədi 7-yə bölünür.

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki, bölünür.


a_n a_n1...a₁ + 5a₀ = B + 5a₀

ədədi 7-yə bölünür. Onda

49B + B + 5a₀ ədədi də 7-yə

49B + B + 5a₀ = 50B + 5a₀ = 5(10B + a₀ ) = 5 A .

5A ədədi 7-yə bölünür. 5 vuruğu 7-yə bölünmədiyindən A ədədi 7-yə bölünür.

Məsələn, 13608 ədədinin 7-yə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayaq: 1360 + 5  8 = 1400 . 1400 ədədi 7-yə bölünür.

Deməli, 13608 ədədi 7-yə bölünür.

7. 
   ə bölünmə əlaməti. A = a_n a_n1 ...a₁a₀
   

natural ədədinin 8-ə bölünməsi üçün onun axırıncı üç rəqəmin sıfır

olması və ya axırıncı üç rəqəmin əmələ gətirdiyi a₂ a₁a₀ ədədinin 8-ə bölünməsi zəruri və kafidir.

Müstəqil isbat edin.

9-a bölünmə əlaməti.

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 9-a bölünməsi üçün onun rəqəmləri cəminin əmələ

gətirdiyi ədədin ( a₀ + a₁ + ... + a_n -in) 9-a bölünməsi zəruri və kafidir.

Müstəqil isbat edin.

10-a bölünmə əlaməti. A = a_n a_n1 ...a₁a₀

(a₀ = 0) olması zəruri və kafidir.

natural ədədinin 10-a bölünməsi üçün onun axırıncı rəqəminin sıfır

11. ə bölünmə əlaməti. 1.

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 11-ə bölünməsi üçün işarəsi növbəli dəyişən

(1)ⁿ a_n + (1) ^n1 a_n1 + ... + (1)a₁ + a₀

cəminin 11-ə bölünməsi zəruri və kafidir.

Zəruriliyin isbatı. Tutaq ki,


A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədi 11-ə bölünür. İsbat edək ki,

(1)ⁿ a_n + (1) ^n1 a_n1 + ... + (1)a₁ + a₀ ədədi də 11-ə bölünür.

A = a_n a_n1 ...a₁a₀ = 10ⁿ  a_n + 10^n1  a_n1 ... + 10  a₁ + a₀ .

10  1mod(11)  10ⁿ = (1) ⁿ mod(11)

olduğunu nəzərə alsaq,

A = a_n a_n1 ...a₁a₀ = 10ⁿ  a_n + 10^n1  a_n1... + 10  a₁ + a₀ 

Şərtə görə

A = a_n a_n1 ...a₁a₀

 (1) ⁿ  a_n + (1) ^n1  a_n1 ...(1)  a₁ + a₀ . natural ədədi 11-ə bölünür. Ona görə də
(1)ⁿ  a_n + (1)^n1  a_n1...(1)  a₁ + a₀

cəmi də 11-ə bölünür.

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki,
cəmi 11-ə bölünür.
(1)ⁿ a_n + (1) ^n1 a_n1 + ... + (1)a₁ + a₀

(1) ⁿ a_n + (1)^n1 a_n1 + ... + (1)a₁ + a₀  10ⁿ  a_n + 10^n1  a_n1... + 10  a₁ + a₀ = a_n a_n1...a₁a₀ .

Buradan


A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 11-ə bölünməsi alınır.

11. 
    yə bölünmə əlaməti. A natural ədədinin 12-yə bölünməsi üçün onun 4-ə və 3-ə bölünməsi zəruri və kafidir. 6-ya bölünmə əlaməti kimi isbat edilir.
    

11. ə bölünmə əlaməti.

bölünməsi zəruri və kafidir.


A = a_n a_n1 ...a₁a₀

natural ədədinin 13-ə bölünməsi üçün

a_n a_n1 ...a₁ + 4a₀

ədədinin 13-ə

Zəruriliyin isbatı. Tutaq ki, A natural ədədi 13-ə bölünür. İsbat edək ki, bölünür.
a_n a_n1 ...a₁ + 4a₀

ədədi də 13-ə

B = a_n a_n1...a₁

işarə edək. Onda

A = a_n a_n1 ...a₁ 10 + a₀ = 10B +a₀

yaza bilərik. Şərtə görə

10B + a₀

ədədi 13-ə

bölünür. Deməli, 40B + 4a₀

ədədi də 13-ə bölünür.

40B + 4a₀ = 39B + B + 4a₀  B + 4a₀ .

Buradan B + 4a₀ = a_n a_n1 ...a₁ + 4a₀ ədədinin də 13-ə bölündüyü alınır.

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki, bölünür.


a_n a_n1...a₁ + 4a₀ = B + 4a₀

ədədi 13-ə bölünür. Onda

39B + B + 4a₀ ədədi də 13-ə

39B + B + 4a₀ = 40B + 4a₀ = 4(10B + a₀ ) = 4 A .

4A ədədi 13-ə bölünür. 4 vuruğu 13-ə bölünmədiyindən A ədədi 13-ə bölünür.

11. 
    ə bölünmə əlaməti. A natural ədədinin 14-ə bölünməsi üçün onun 2-yə və 7-yə bölünməsi zəruri və kafidir. 6-ya bölünmə əlaməti kimi isbat edilir.
    
12. 
    ə bölünmə əlaməti. A natural ədədinin 15-ə bölünməsi üçün onun 3-ə və 5-ə bölünməsi zəruri və kafidir. 6-ya bölünmə əlaməti kimi isbat edilir.
    

18-ə bölünmə əlaməti. A natural ədədinin 18-ə bölünməsi üçün onun 2-yə və 9-a bölünməsi zəruri və kafidir. 6-ya bölünmə əlaməti kimi isbat edilir.

25-ə bölünmə əlaməti. A natural ədədinin 25-ə bölünməsi üçün onun axırıncı ik rəqəmin sıfır olması və ya axırıncı iki rəqəmin əmələ gətirdiyi a₁a₀ ədədinin 25-ə bölünməsi zəruri və kafidir.

Müstəqil isbat edin.

adlanır. olur.