Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

2. Çoxluqların daxilolma münasibəti- alt çoxluq

Tərif. Əgər A çoxluğunun hər bir elementi B çoxluğunun elementi olarsa, onda A çoxluğuna B çoxluğunun

alt çoxluğu deyilir və

A  B

və ya B  A kimi işarə edilir.

Tərif.

A  B

və B  A olarsa, onda A və B bərabər çoxluqlar adlanır və

A = B kimi edilir.

Alt çoxluğa verilən tərifdən aydındır ki, hər bir çoxluq özü-özünün alt çoxluğudur, yəni

Boş çoxluq istənilən çoxluğun alt çoxluğudur:   A .

A  A .

Tərif. Əgər

A  B

və A  B, A  

olarsa, onda A çoxluğuna B çoxluğunun məxsusi alt çoxluğu deyilir və

A  B kimi işarə edilir.

Çoxluqlar üzərində əməllər

Çoxluqlar üzərində onların kəsişməsi, birləşməsi, fərqi əməlləri təyin olunmuşdur ki, bu əməllərin də köməyi ilə iki və daha çox çoxluğun elementlərindən yeni çoxluq alınır.

1. 
   Birləşmə əməli. A və B çoxluqlarının birləşməsi elə çoxluğa deyilir ki, onun elementləri heç olmasa A və
   

B çoxluqlarından birinə aiddir. A və B çoxluğunun birləşməsi A  B kimi yazılır. Verilən tərifə görə

A  B = {x | x  A və ya x  B}.

Nümunə.

A = {1,2,5,7,8}, B = {2,5,7,9,10} olarsa, onda

A  B = {1,2,5,7,8,9,10} .

n sayda

A₁ , A₂ , ..., A_n çoxluqlarının birləşməsi aşağıdakı kimi yazılır:

n


=
A = A₁  A₂ ...  A_n =  A_i .

i 1

2. 
   Kəsişmə əməli. A və B çoxluqlarının kəsişməsi elə çoxluğa deyilir ki, onun elementləri həm A , həm də B
   

çoxluğuna aid olsun. A və B çoxluğunun kəsişməsi A  B kimi yazılır. Verilən tərifə görə A  B = ^{x | x  A və

x  B}.

Nümunə. 1)

A = {1,2,5,7,8}, B = {2,5,7,9,10} olarsa, onda

A  B = {2,5,7} ;

2) A = {a, b, c,7}, B = {b, c,7,9} olarsa, onda

A  B = {b, c,7} .

n sayda

A₁ , A₂ , ..., A_n çoxluqlarının kəsişməsi aşağıdakı kimi yazılır:

n


=
A = A₁  A₂  ...  A_n =  A_i .

i 1

3. 
   Çoxluqların fərqi. A və B çoxluqlarının fərqi elə çoxluğa deyilir ki, onun elementləri A çoxluğuna aid olub, B çoxluğuna
   

aid olmur. A və B çoxluqlarının fərqi A \ B kimi yazılır. Verilən tərifə görə A \ B = ^{x | x  A, x  B^}.

Nümunə.

A = {1,2,5,7,8}, B = {2,5,7,9,10} olarsa, onda

A \ B = {1,8} .

Tərif.

B  A

olarsa, onda A \ B fərqi B çoxluğunun A çoxluğuna tamamlayıcısı deyilir və

B^A

kimi işarə

edilir. B^A = A \ B

Nümunə. A = {1,2,5,7,8}, B = {5,7,8} olarsa, onda B^A = {1,2} .

Aydındır ki, A \ A =  ; A \ = A ;  \ A = .

Əgər baxılan çoxluqlar hər hansı U çoxluğunun alt çoxluqlarıdırsa, onda U çoxluğu universal çoxluq adlanır.

A  U olduqda A çoxluğunu U çoxluğuna tamamlayan çoxluğu A^ kimi işarə edirlər:

A  A^ = U , A  A^ =  , A^ = A .

Nümunə. Bir universitetin tələbələr çoxluğundan söhbət gedirsə, onda universitetin bütün tələbələr çoxluğunu universal çoxluq qəbul edirlər (U). Fakültələr üzrə tələbələr çoxluğu, kurslar üzrə tələbələr çoxluğu və s. universal

çoxluğun alt çoxluqlarıdır. R riyaziyyat fakültəsinin tələbələr çoxluğu olarsa, onda fakültələrin tələbələr çoxluğudur:

R  U . R^ tamamlayıcı çoxluğu digər

R  R^ = U , R = R^ =  , R^ = R .

Çoxluqlar üzərində əməllərin xassələri

Çoxluqlar üzərində əməllərin bir sıra xassələri vardır. Bunlardan ən mühüm xassələr aşağıdakılardır:

1. 
   A  B = B  A -birləşmədə kommutativlik;
   
2. 
   A  B = B  A -kəsişmədə kommutativlik;
   
3. 
   (A  B)  C = A  (B  C ) -birləşmədə assosiativlik;
   
4. 
   (A  B)  C = A  (B  C ) -kəsişmədə assosiativlik
   
5. 
   A  (B  C) = (A  B)  (A  C) -birləşməyə nəzərən kəsişmədə distributivlik
   
6. 
   A  (B  C) = (A  B)  (A  C) - kəsişməyə nəzərən birləşmədə distributivlik;
   

7. 
   A  A = A
   
8. 
   A  A = A
   

-birləşmədə idempotentlik;

-kəsişmədə idempotentlik.

Bu xassələr çoxluqlar üzərində əməllərə verilən tərifdən istifadə etməklə isbat edilir. Məsələn, 6-cı xassəni isbat edək. x  A  (B  C) elementini götürək. İsbat edək ki,

Birləşmə və kəsişmə əməlinə verilən tərifə görə:

x (A  B)  (A  C ).

x  A  (B  C) x  A və ya ( x (B  C) x  B və x C ).

( x  A və ya

x  B ) və ( x  A və ya x  C) 

 (x ( A  B) və

x ( A  C))  x (A  B)  (A  C ) .

De Morgan qanunları.

A  U , B  U

olarsa,

1) ( A  B)^ = A^  B^ ; 2) ( A  B)^ = A^  B^ .

De Morgan qanunları universal və tamamlayıcı çoxluğa, həmçinin birləşmə və kəsişmə əməlinə verilən tərifə görə isbat edilir.

Məsələn, 2-ci xassəni isbat edək. x  A^  B^ elementini götürək. İsbat edək ki,

x  A^  B^  ya x  A^, ya da x  B^ ,

x ( A  B)^ .

ya da x  A^ və x  B^ .

Əgər

x  A^ olarsa,

x  A , x  B^ olarsa,

x  B . Beləliklə, istənilən halda x elementi A və ya B çoxluqlarından birinə aid

deyil. Deməli,

x ( A  B)  x ( A  B)^ .

Nizamlı çoxluq. Elementlərinin düzülüş nizamı verilən çox-luqlar nizamlı çoxluq adlanır. Və ya elementlərini nömrələmək mümkün olan çoxluq nizamlı çoxluq adlanır.

1.6. Eyler –Venn diaqramları

Çoxluqları əyani təsvir etmək üçün ingilis riyaziyyatçısı Con Venn (1834-1923) müstəvi üzərində qapalı fiqurlardan istifadə etməyi təklif etmişdir. Bundan əvvəl isə Eyler (1707-1783) çoxluqlar arasındakı münasibətləri təsvir etdikdə dairələrdən istifadə etmişdir. Ona görə də çoxluqların və onlar arasındakı münasibətlərin fiqurlarla təsviri Eyler- Venn diaqramları adını almışdır.

Çoxluqların və onlar arasındakı münasibətlərin diaqramlarla təsviri çox əlverişli vasitə olmaqla, həndəsi təsvir üsuludur.

U universal çoxluğu düzbucaqlı ilə, ona daxil olan digər çoxbucaqlılar düzbucaqlının daxilində dairələrlə və ya digər qapalı fiqurlarla təsvir edilir. Bu fiqurlar bir-birinə münasibətdə müxtəlif vəziyyətlərdə yerləşir.

Çoxluqlar üzərində bəzi əməlləri və onların xassələrəni eyler-Venn diaqramları ilə təsvir edək.

Natural ədədlər çoxluğu, tam ədədlər çoxluğu və onların xassələri Natural ədəd anlayışı. Peano aksiomları

Ədəd riyaziyyatın fundamental anlayışlarındandır və onun yaranması bizim eradan əvvəl 3-cü minilliyə təsadüf edir. İnsanların praktik fəaliyyətində ilk dəfə olaraq natural ədədlər yaranıb. Latın mənşəli natural sözü azərbaycan dilində təbii mənasını verir.

Məktb riyaziyyatı kursunda natural ədədlərə çox da ciddi olmayan tərif verilir: saymaq üçün istifadə edilən ədədlər natural ədədlər adlanır: 1; 2; 3; ...; 10; 11; 12; ...; 100; 101; 102; ...;... .

Ədədləri, o cümlədən natural ədədləri yazmaq üçün 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 işarələrindən istifadə edilir. Bu işarələrə rəqəmlər deyilir. İşarələrin sayı 10 olduğundan insanların gündəlik həyatda istifadə etdiyi ədədlər onluq say sistemini əmələ gətirir.

Elementləri bütün natural ədədlər olan çoxluğa natural ədədlər çoxluğu deyilir. Bütün natural ədədlər çoxluğunu

N hərfi ilə işarə edirlər: N={1; 2; 3; ...; n; ...}.

Natural ədəd anlayışının ciddi tərifi, elementar riyaziyyat kursunun tədqiqat oblstından kənara çıxan, italyan riyaziyyatçısı Cüzeppe Peano (1858-1932) tərəfindən1891-ci ildə irəli sürülmüş aksiomlara söykənir.

Bir elmi (riyazi) nəzəriyyənin, o cümlədən natural ədədlər sisteminin qurulmasının aksiomatik üsulunun mahiyyəti aşağıdakılardan ibarətdir.

1. 
   Nəzəriyyənin bəzi anlayışları əsas anlayışlar kimi seçilir və tərif verilmədən qəbul edilir.
   
2. 
   Nəzəriyyənin əsas anlayışların sırasında olmayan hər bir anlayışına tərif verilir, onun mənası əsas və əvvəlki anlayışların köməyi ilə izah edilir.
   
3. 
   Bu nəzəriyyədə isbatsız qəbul edilən və əsas anlayışların xassələrinin açıldığı aksiomlar hazırlanır.
   
4. 
   Nəzəriyyənin aksiomlar siyahısında olmayan hər bir təklifi isbat edilməlidir. Belə təkliflər teoremlər adlanır və onlar əvvəl öyrənilmiş aksiom və teoremlər əsasında isbat edilir.
   

Qeyd edək ki, nəzəriyyənin aksiomlar sistemi ziddiyyətli və asılı olmamalıdır.

Ziddiyyətli olmamaq o deməkdir ki, ondan bir-birini istisna edən iki məntiqi təklif çıxarılmamalıdır.

Asılı olmamaq isə o deməkdir ki, aksiomlar sisteminin heç bir aksiomu digərinin nəticəsi olmamalıdır.

İlk anlayış olaraq verilmiş boş olmayan N çoxluğunun elementləri arasında «bilavasitə sonra gəlir» münasibəti götürülür. Boş olmayan N çoxluğunun a elementindən bilavasitə sonra gələn elementi a^ kimi işarə edəcəyik.

«Bilavasitə sonra gəlir» münasibətinin mənası Peano aksiomları adlanan aşağıdakı aksiomlarla açılır.

1. 
   Boş olmayan N çoxluğunda «1» kimi işarə edilən element var və ondan əvvəl gələn heç bir element yoxdur. Yəni N çoxluğunun istənilən elementi üçün a^  1.
   
2. 
   N çoxluğunun istənilən a elementi üçün ondan sonra gələn yeganə a^ elementi vardır.
   
3. 
   N çoxluğunun hər bir a elementindən əvvəl gələn yalnız bir element var. Yəni a^ = b^ olarsa, onda a=b.
   
4. 
   N çoxluğunun M alt çoxluğu aşağıdakı iki xassəni ödəyərsə, onda M= N: a) 1 elementi M alt çoxluğuna daxildir; 2) əgər a elementi M alt çoxluğuna daxildirsə, onda bilavasitə ondan sonra gələn a^ elementi də M-ə daxildir.