Funksiyanın nöqtədə limiti,limitin xassələri, funksiyanın kəsilməzliyi

Funksiyanın nöqtədə limiti,limitin xassələri,
funksiyanın kəsilməzliyi.
Tutaq ki funksiyası a nöqtəsinin hər hansı ətrafında təyin olunmuşdur.
Tərif. Əgər arqumentin bu ətrafa daxil olan qiyməylərindən a- ya yığılan ,n
ardicilliğı ücün ,funksiyanın uyğun qiymətlərindən düzəldilmiş ardıcıllığı A-ədədinə yığılırsa, dəyişəni a-ya yaxınlaşdıqda funksiyasının deyilir və kimi yazılır.
Funksiyanın haqqında aşağıdakı teoremlər dogrudur:
1. funksiyasının a nöqtəsində varsa,yeganədir.
2. . funksiyasının a nöqtəsində varsa, a nöqtəsinin elə təcrid olunmuş ətrafı var ki, funksiya bu ətrafda məhduddur.
3. Əgər olarsa ,onda a-nın elə təcrid olunmuş ətrafı var ki,bu ətrafda funksiyanın işarəsi A-nın işarəsi ilə eynidir.
4. Əgər olarsa , onda a-nın müəyyən təcrid olunmuş ətrafında

Onda A .
5.a nöqtəsinin müəyyən təcrid olunmuş ətrafında və isə ,onda .
6. olduqda və funksiyalarının varsa ,onların cəminin ,hasilinin də var və:
,

Xüsusi halda
.

1. 
   Əgər olduqda və funksiyalarının varsa və ,
   

bu funksiyaların nisbətlərinin onların limitləri nisbətinə bərabərdir.

Tərif.Tutaq ki, (a; b) aralığında təyin olunmuşdur və
Əgər şərti ödənərsə , -ə kəsilməz funksiya deyilir.
Tərifə görə nöqtəsində kəsilməz olan funksiyası aşağıdakı şərtləri ödəməlidir:

1. 
   nöqtəsində təyin olunmalıdır;
   
2. 
   nöqtəsində onun sonlu limiti olmalıdır;
   
3. 
   nöqtəsindəki qiyməti onun bu nöqtədəki
   

olmalıdır. aralığının bütün nöqtələrində kəsilməz olan funksiyaya bu aralıqda kəsilməz funksiya deyilir.


Törəmənin tərifi, xassələri.
Arqumentin və funksiyanın artımı.

Arqumentin və funksiyanın artımı: tutaq ki, qeyd olunmuş nöqtəsinin hər hansı ətrafından götürülmüş nöqtədir. fərqinə deyib işarə edək. .
funksiyasının uygun nöqtələrdəki qiymətlər fərqini adlandırıb ilə (delta ef)işarə edək:
- .
bərabərliyindən alarıq.Onda
- )- .
Törəmənin tərifi. sıfra yaxınlaşdıqda ( nisbətinin limiti varsa ,bu limitə funksiyanın nöqtəsində deyilir, , kimi işarə edilir.
Bu tərifi aşağıdakı kimi də yazmaq olar:
= və ya =
Hər hansı nıqtədə törəməsi olan funksiyaya diferensiallanan funksiya deyilir.Müəyyən intervalın bütün nöqtələrində törəməsi olan funksiyaya ,həmin intervalda diferensiallanan funksiya deyilir.
Cəmin, hasilin, nisbətin və qüvvətin törəməsi.
Tutaq ki, istənilən ücün diferensiallanan funksiyalardır.
Onda istənilən ücün

1. 
   
   
2. 
   (
   
3. 
   (c
   
4. 
   , ( dogrudur.
   

adlanır.

Fəzada düzbucaqlı koordinat sisteminin daxil edilməsi.
Vektorun koordinatları.

İxtiyari bir O nöqtəsi götürək və bu nöqtədən bir-birinə cüt-cüt perpentikulyar olan üç düz xətt keçirək. Bu düz xətləri uyğun olaraq OX, OY, OZ adlandıraq. Bu düz xətlər koordinant oxları adlanır. Buna düzbucaqlı koordinant sistemi deyilir.

Fəzada nöqtələr çoxluğu ilə ədədlər üçlüyü arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq var.
Oxyz koordinat fəzası götürək. Koordinat başlanğıcından çıxan vektorunun uc nöqtəsi M-in koordinatlarına vektorunun koordinatları deyilir. Fəzanın hər bir nöqtəsinə bir radius –vektor və tərsinə hər bir radius vektoruna bir nöqtə uyğundur.
Koordinat başlanğıcından çıxan koordinat oxlarının müsbət istiqaməti üzrə yönələn və uzunluğu vahidə bərabər olan , , vektorlarına bazis vektorlar deyilir. Fəzanln istənilən vektoru yeganə qayda ilə ayırmaq olar: =(x;y;z)=x +y +z .
=(x₁;y₁;z₁) və =(x₂;y₂;z₂) vektorlarının cəmi :
= + =(x₁+ x2;y₁+ y2;z₁+ z₂); Fərqi: = - =(x₁- x2;y₁- y2;z₁- z₂);
Ədədə hasili: k∙ =(k x₁;ky₁;kz₁);


Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları.
İki nöqtə arasındakı məsafə. Vektorun uzunluğu.

Fəzada AB parçası götürək. Onun uc nöqtələrinin koordinatı A(x₁;y₁;z₁) və B(x₂;y₂;z₂)

Orta nöqtəsi isə C (x;y;z) olsun. x= ; y= ; x= ;
Teorem 1: =(x₁;y₁;z₁) və x₂;y₂;z₂) nöqtələri arasındakı məsafə
|AB|= düsturu ilə hesablanır.
=(x₁;y₁;z₁) vektorunun uzunluğu: | |= düsturu ilə hesablanır.


İki vektor arasındakı bucaq. İki vektorun skalyar hasili.
Sıfır olmayan iki vektor arasındakı bucaq bu vektorlarla eyniistiqamətli olan iki şüa arasındakı bucağa deyilir. ( ^{^}, ) kimi işarə olunur. və vektorları eyniistiqamətli olduqda onlar arasındakı bucaq 0^°,əksistiqamətli olarsa, 180^° perpentikuyar olarsa isə onlar arasındakı bucaq 90^° olur.
Sıfır olmayan iki vektorun mütləq qiymətləri ilə onların arasındakı bucağın kosinusu hasilinə bu vektorların skalyar hasili deyilir. və vektorlarınin skalyar hasili
= cos( ^{^}, ) kimi işarə olunur. İstənilən , və vektorları üçün
∙ + = ∙ + bərabərliyi doğrudur.
Teorem 1: İki vektorun skalyar hasili onların eyniadlı koordinatlarının hasılləri cəminə bərabərdir. =(x₁;y₁;z₁) və =(x₂;y₂;z₂) vektorları üçün: =x₁ +y₁ +z₁ ,
=x₂ +y₂ +z₂ olduğundan. = (x₁ +y₁ +z₁ )( x₂ +y₂ +z₂ ) bu hasildə vektorlar eyniistiqamətli olduqda onlar arasındakı bucaq 0^°, perpentikuyar olarsa isə onlar arasındakı bucaq 90^° olduğunu nəzərə alsaq.
=x₁x₂+y_{1 2} +z_{1 2} alırıq.
İki vektor arasındakı bucağın kosinusu düsturu.
İki vektorun skalyar hasili düsturundan = cos( ^{^}, )
cos( ^{^}, ) = alırıq.
Burada =x₁x₂+y_{1 2} +z_{1 2} və | |= , | |= olduğunu nəzərə alsaq
cos( ^{^}, ) = alırıq.
Sıfır olmayan iki vektorun skalyar hasili yalnız sıfıra bərabər olduqda onlar qarşılıqlı perpentikulyardır.


Mərkəzi simmetriya, ox və müstəvi simmetriyası.
Fəzanın özünə çevrilməsində müxtəlif nöqtələr müxtəlif nöqtələrə çevrilərsə, belə çevirməyə fəza çevirməsi deyilir. Fəza çevirməsində X nöqtəsinin çevrildiyi X₁ nöqtəsinə onun obrazı deyilir.
Fəzada fiqurun nöqtələri arasındakı məsafəni saxlayan həndəsi çevirməyə hərəkət deyilir. F hərəkəti zamanı fəzanın X nöqtəsi X₁ -ə Y nöqtəsi Y₁-ə çevrilərsə, onda XY=X₁ Y₁.
F fiquru O nöqtəsinə nəzərən simmetriyada özünə çevrilərsə, belə fiqura mərkəzi simmetrik fiqur, O nöqtəsinə isə fiqurun simmetriya mərkəzi deyilir.
Koordinat başlanğıcına nəzərən simmetriyada (a;b;c) nöqtəsi (-a;-b;-c) nöqtəsinə çevrilir.
Fəzanın hər bir nöqtəsini p düz xəttinə nəzərən simmetrik nöqtəyə çevirən fəza çevirməsinə ox simmetriyası deyilir. Ox oxuna nəzərən simmeriyada A (x₁;y₁;z₁) nöqtəsi A₁(x₁;-y₁;-z₁), Oy oxuna nəzərən simmetriyada A (x₁;y₁;z₁) nöqtəsi
A₁(-x₁;y₁;-z₁), Oz oxuna nəzərən simmetriyada isə A (x₁;y₁;z₁) nöqtəsi
A₁(-x₁;-y₁;z₁) nöqtəsinə çevrilir.
F fiqurunun hər bir nöqtəsini α müstəvisinə nəzərən simmetrik nöqtəyə çevirən həndəsi çevirən həndəsi çevirməyə müstəvi simmetriyası deyilir. xy müstəvisinə nəzərən simmetriyada A (x₁;y₁;z₁) nöqtəsi A₁(x₁;y₁;-z₁), xz oxuna nəzərən simmetriyada A (x₁;y₁;z₁) nöqtəsi A₁(x₁;-y₁;z₁), yz oxuna nəzərən simmetriyada isə A (x₁;y₁;z₁) nöqtəsi A₁(-x₁;y₁;z₁) nöqtəsinə çevrilir.
Paralel köçürmə. Fiqurların bərabərliyi.
Fəzanın ixtiyari A(x;y;z) nöqtəsini A₁(x+a;y+b;z+c) nöqtəsinə çevirən həndəsi çevirməyə paralel köçürmə deyilir. a,b,c ədədlərinə köçürmənin sabitləri,
x¹=x+a; y¹=y+b; z¹=z+c; bərabərliklərinə paralel köçürmənin düsturları deyilir.
Fəzada paralel köçürmə hər bir müstəvini özünə paralel müstəviyə və ya özünə çevirir.
Fəzada hərəkət vasitəsilə bir- birinə çevrilən fiqurlara bərabər fiqurlar deyilir.

1. 
   Xətti bucaqları bərabər olan ikiüzlü bucaqlar bərabərdir.
   
2. 
   Ölçüləri bərabər olan düzbucaqlı paralelepipedlər bərabərdir.
   
3. 
   Oturacağının tərəfi və hündürlüyü bərabər olan eyniadlı düzgün prizmalar bərabərdir.
   
4. 
   Oturacağının tərəfi və hündürlüyü bərabər olan eyniaadlı düzgün piramidalar bərabərdir.
   
5. 
   Ili bərabər olan düzgün tetraedrlər bərabərdir.
   

Fəzada oxşarlıq çevirməsi. Fiqurların oxşarlığı.
Həndəsi çevirmə zamanı fəzanın ixtiyari iki nöqtəsi arasındakı məsafə eyni bir müsbət ədəd dəfə dəyişərsə, belə çevirməyə fəzanın oxşarlıq çevirməsi deyilir. Başqa sözlə fəzanın ixtiyari X və Y nöqtəsini uyğun olaraq X₁ və Y₁ nöqtəsinə çevirmədə X₁Y₁=k∙XY olarsa, bu çevirməyə oxşarlıq çevirməsi k ədədinə (k>0) isə oxşarlıq əmsalı deyilir. Oxşarlıq çevirməsində F fiqurunun çevrildiyi F΄ fiquruna ona oxşar fiqur deyilir və F~F΄ kimi işarə olunur.k=1 olduqda oxşarlıq çevirməsi hərəkət olur.
Oxşarlıq çevirməsinin xassələri:

1. 
   Hər bir fiqur özünə oxşrdır. F~F.
   
2. 
   F fiquru F₁ fiquruna k əmsalı ilə oxşardırsa onda F₁ fiquru əmsalı ilə F fiquruna oxşardır.
   
3. 
   F fiquru F₁ fiquruna k₁ əmsalı ilə, F₁ fiquru F₂ fiquruna k₂ əmsalı ilə oxşardırsa, F fiquru F₂ fiquruna k₁k₂ əmsalı ilə oxçardır.
   
4. 
   Oxşarlıq çevirməsi parçanı parçaya, düz xətti düz xəttə, şüanı şüaya,müstəvini müstəviyə çevirir.
   
5. 
   Oxşarlıq çevirməsi hər bir bucağı özünə bərabər bucağa çevirir.
   

Murəkkəb funksiyanın və tərs funksiyanın törəməsi.

1. 
   Teorem. Tutaq ki, funksiyası aralığında təyin olunub və
   

Nöqtəsində törəməsi var. funksiyası isə iniymətlər coxlugunun daxil
Olduğu aralıqda təyin olunub və funksiyası nöqtəsində
Törəməsi var.Onda mürəkkəb funksiyasının nöqtəsində
Törəməsi var və

Əsas törəmədə lazım olan düsturlar:(
)
Misal:

2. 
   
   

3. 
   (
   

( ) =

2. 
   Məlumdur ki , artan (azalan) funksiyadırsa ,onun tərsi olan funksiyası var
   

Və tərs funksiyada artır( azalır). funksiyasının törəməsi məlum olduqda onun tərs funksiyasının törəməsini tapmağa imkan verən aşağıdakı teoremə baxaq:
Teorem. Tutaq ki, funksiyası aralığında kəsilməz, monoton funksiyadır
Və nöqtəsindəsıfırdan fərqli törəməsi var.Onda bu funksiyanın tərsi
Olan funksiyasının nöqtəsində törəməsi var və
.
Törəmə cədvəli: C- sabitdir.
n-həqiqi ədəddir.














Törəmənin həndəsi mənası ,funksiyanın
qrafikinə toxunan,toxunanın tənliyi.
Törəmənin həndəsi mənasını izah etmək ücün intervalında təyin olunmuş funksuyasının qrafikinə baxaq.Qrafik üzərində götürülmüş M nöqtəsi N nöqtəsi isə qiymətinə uyğundur.M və N nöqtəsindən kecən düz xətt adlanır. absis oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucaq olsun. cəkək. - dən bucaq əmsalını ( . =


Əgər N nöqtəsi əyri boyunca M nöqtəsinə yaxınlaşdıqda olur.Bu zaman MN kəsini MT toxunanına yaxınlaşacaq.MT düz xəttinə əyrinin M nöqtəsində toxunanı deyilir.MT toxunanının OX oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağı ilə işarə edək. olanda olur.Onda tg olar.Bunun əsasında ,(1)-də şərti daxilində limitə kecsək, bucaq əmsalını taparıq.

, arqumentin hər hansı nöqtəsində y=f(x) funksiyanın f^/(x₀) törəməsi funksiyanın qrafikinə ( nöqtəsində cəkilmiş toxunanın absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensi - bərabərdir.
.
Toxunanın bucaq əmsalıməlumdursa ,onun tənliyini asanlıqla yazmaq olar:
MT düz xətti M( nöqtəsindən kecdiyindən onun tənliyi:
şəklindədir. yazsaq
tənliyini alarıq.
və ya toxunanın tənliyidir.

Silindr və onun müstəvi kəsikləri.
Düzbucaqlının bir tərəfi ətrafında fırlanmasından alınan cisimə Silindr deyilir.
Alınan dairələr silindrin oturacaqları adlanır. Oturacaqlar arasındakı məsafə silindrin hündürlüyü, oturacağın radiusu isə silindrin radiusu adlanır.

A₁ B₁
Silindrin hündürlüyü həmdə onun oxu adlanır

Silindrin oxundan keçən müstəvi ilə kəsiyinə

onun ox kəsiyi deyilir. A B

Ox kəsiy kvadrat olan silindirə bərabərtərəfli silindr deyilir.

Silindrin açılışı iki dairədən və bir düzbucaqlıdan ibarət olduğundan:
S_ot=𝜋R²; S_yan=2𝜋RH; S_tam=2S_ot+S_yan=2𝜋R(R+H) olur. Burada R-silindrin radiusu H-isə hündürlüyüdür.
Silindrin oxuna perpentikulyar müstıvi ilə kəsiyi oturacağına bərabər dairədir.
Oxuna perpentikulyar olmayan müstıvi kəsiyi ellips ya da onun hissəsi olan müstəvi fiqurlar olur.
Silindrin oxuna paralel müstıvi ilə kəsiyi isə düzbucaqlıdır.


Silindrin daxilinə və xaricinə çəkilmiş prizmalar.
Silindrin tam səthinin sahəsi.
Düzbucaqlının bir tərəfi ətrafında fırlanmasından alınan cisimə Silindr deyilir.
Alınan dairələr silindrin oturacaqları adlanır. Oturacaqlar arasındakı məsafə silindrin hündürlüyü, oturacağın radiusu isə silindrin radiusu adlanır.
Oturacaqları silindrin oturacaqları daxilinə çəkilmiş çoxbucaqlı yan tilləri silindrin doğuranı olan prizmaya silindr daxilinə çəkilmiş prizma, silindrə isə prizma xaricinə çəkilmiş silindr deyilir.
Oturacaqları silindrin oturacaqları xaricinə çəkilmiş çoxbucaqlı, yan üzləri silindrə toxunan müstəvi olan prizmaya silindr xaricinə çəkilmiş prizma, silindrə isə prizma daxilinə çəkilmiş silindr deyilir.
Silindirin açılışı iki dairədən və bir düzbucaqlıdan ibarət olduğundan:
S_ot=𝜋R²; S_yan=2𝜋RH; S_tam=2S_ot+S_yan=2𝜋R(R+H) olur. Burada R-silindrin radiusu H-isə hündürlüyüdür.
Konus və onun müstəvi kəsikləri, kəsik konus.
Düzbucaqlı üçbucağın bir kateti ətrafında fırlanmasından alınan cismə konus deyilir.
Düzbucaqlı üçbucağın fırlanmayan katetini saxlayan düz xətt onun oxu, həmin katetə isə konusun hündürlüyü, fırlanan katetinə konusun radiusu, hipetonuzuna isə konusun doğuranı deyilir. Firlanma zamanı hipetenuzun əmələ gətirdiyi fırlanma səthinə konusun yan səthi deyilir.
S
Konusun tam səthi onun oturacağından və yan səthindən
Ibarıtdir. Konusun oxundan keşən müstəvi ilə kəsiyinə L H
onun ox kəsiyi deyilir. Ox kəsiyi düzgün üçbucaq
olan (l=2R) bərabərtərəfli konus deyilir. A B

Teorem 1: Konusun oturacağına perpentikulyar müstəvi

kəsiyi dairədir. Konusun açılışı dairə və dairə sektoru(yan səthi) ibarətdir.
S_ot=𝜋R²; S_yan=𝜋RL; S_tam=S_ot+S_yan= 𝜋R² + 𝜋RL=𝜋R(R+L);
Konusun oturacağı ilə oturacaq müstəvisinə paralel müstəvi arasında qalan hissəsinə kəsik konus deyilir. Konusun hündürlüyünün və doğuranının paralel müstəvi ilə oturacaq arasında qalan hissəsi kəsik konusun hündürlüyü və doğuranı adlanır.
A₁ B₁




A B


Konusun daxilinə və xaricinə cəkilmiş piramidalar.
Konusun və kəsik konusun səthlərinin sahəsi.
Düzbucaqlı üçbucağın bir kateti ətrafında fırlanmasından alınan cismə konus deyilir.
Düzbucaqlı üçbucağın fırlanmayan katetini saxlayan düz xətt onun oxu, həmin katetə isə konusun hündürlüyü, fırlanan katetinə konusun radiusu, hipetonuzuna isə konusun doğuranı deyilir. Firlanma zamanı hipetenuzun əmələ gətirdiyi fırlanma səthinə konusun yan səthi deyilir.
Oturacağı konusun oturacağı daxilinə çəkilmiş çoxbucaqlı, təpəsi isə konusun təpəsi ilə eyni olan piramidaya konusun daxilinə çəkilmiş piramida, konusa isə piramidanın xaricinə çəkilmiş konus deyilir.
Oturacağı konusun oturacağı xaricinə çəkilmiş çoxbucaqlı, təpəsi isə konusun təpəsi ilə eyni olan piramidaya konusun xaricinə çəkilmiş piramida, konusa isə piramidanın daxilinə çəkilmiş konus deyilir.
Teorem 1: Konusun yan səthi onun oturacaq çevrəsinin uzunluğu ilə doğuranı hasilinin yarısına bərabərdir. S_yan = C∙L = 𝜋RL.
S_ot = 𝜋R²; S_yan = 𝜋RL; S_tam = S_ot+S_yan= 𝜋R² + 𝜋RL = 𝜋R(R+L);
Kəsik konusun yan səthinə iki konusun yan səthlərinin fərqi kimi də baxmaq olar.
S_yan=𝜋RL+𝜋rL= L. Burada R və r kəsik konusun oturacaqlarının radiusu, L doğuranıdır.
Kəsik konusun yan səthi ouracaqları cəminin yarısı ilə doğuranı hasilinə bərabərdir.


ksiyanın II tərtib törəməsi.
Tutaq ki, funksiyası aralığında təyin olunub bu aralıqda törəməsi var. -ə ilə işarə edək. = . funksiyasının –də törəməsi varsa , ona funksiyası deyilir.İşarəsi: .
funksiyasının verilmiş aralıqda ∣∣ tərtib törəməsi varsa ,ona bu aralıqda ∣∣ tərtibdən funksiya deyilir.

Funksiyanın artma və azalma əlamətləri.
Teorem1. aralığında diferensiallanan funksiyası bu aralıqda artırsa, bu aralıqdan götürülmüş ixtiyari ücün .
Teorem 2 . aralığında diferensiallanan funksiyası bu aralıqda azlırsa, bu aralıqdan götürülmüş ixtiyari ücün
Teorem. aralığında funksiyasının törəməsi müsbətdirsə (mənfidirsə) ,bu funksiya aralığında
Deməli , funksiyanın artan və ya azalan olması ücün:

1. 
   Funksiyanın törəməsini hesablamaq.
   
2. 
   olduğu aralıqları tapmaq.
   

Qeyd. bərabərsizliklərini həll etmək ücün ümumiləşmiş intervallar üsulundan ( Darbu teoremindən)istifadə edirlər:
funksiyasının törəməsinin sıfra bərabər olduğu nöqtələr və ya törəmənin olmadığı nöqtələr funksiyanın təyin oblastını bir necə aralıga bölür ki,bu aralıqların hər birində funksiyası işarəsini dəyişmir. Hər bir aralıqda –in işarəsini sinaq nöqtəsi vasitəsi ilə aydınlaşdırmaq olar.
Bu teoremler funksiyanın artması və azalması (yəni nontonluğu) ücün zəruri şərtlərdi.

Funksiyanın böhran nöqtələri. Ekstremum nöqtələri,
funksiyanın parcada ən kicik, ən böyük qiymətləri.
∣. Tərif.Törəmənin sıfra bərabər olduğu və törəmənin olmadıgı daxili nöqtələrə deyilir.
Misal. =funksiyasının x=0 noqtəsində törəməsi yoxdur.Yəni, x=0 nöqtəsi
funksiyanın Həm də funksiyanın minumum nöqtəsidir.Cünki,
∣ deməli,
Diferensiallanan funksiyanın böhran nöqtələri haqqında aşağıdakı teorem doğrudur:
Teorem (Ferma). Tutaq ki, nöqtəsi onun müəyyən ətrafında təəyin olunmuş funksiyasının ekstremum nöqtəsidir və bu nöqtədə törəməsi var.Onda .
Bu teoremə görə ekstremum nöqtələrində diferensiallanan funksiyanın törəməsi varsa, sıfra bərabərdir.Bu teoremin tərsi doğru deyil,yəni,törəmənin sıfır oldugu nöqtədə funksiyanın ekstremumu olmaya bilər.ona görə,Ferma teoremi ekstremum ücün zəruri şərtdir.
Misal.

= =0 olur.Lakin bu nöqtə . funksiyasının ekstremum nöqtəsi deyil.
Funksiyanın ekstremuma malik olması ücün kafi şərtlər aşağıdakı teoremlərdə ifadə olunmuşdur:
Teorem1. Tutaq ki, funksiyası aralığında kəsilməzdir və Əgər aralıqlarında varsa , ücün və ücün olarsa nöqtəsi -in nöqtəsi adlanır.
Teorem 2. Tutaq ki, funksiyası aralığında kəsilməzdir və Əgər aralıqlarında varsa , ücün və ücün olarsa nöqtəsi -in nöqtəsi adlanır.
Bu teoremləri sadə şəkildə belə demək olar:
“+”- “-“ yə dəyişrsə, bu nöqtə funksiyanın maksimum nöqtəsi, “-“ -ə dəyişirsə, minimum nöqtəsi deyilir.
İşarəsi: bunlara funksiyanın maksimum, minimum (ekstremum) nöqtələri deyilir. Bu nöqtələri funksiyada yerinə yazıb hesablayırıq.
Deməli ,funksiyanın maksimumlarını, minumumlarını hesablamaq ücün :

1. 
   Funksiyanın törəməsini tapmaq,
   
2. 
   Sıfra bərabər edib böhran nöqtəlini tapmaq,
   
3. 
   Artma ,azalma aralıqlarını araşdırmaq,
   
4. 
   nöqtələrini müəyyənləşdirmək.
   
5. 
   Bu nöqtələri funksiyada yerinə yazıb – ləri heablamaq.
   

Misal. funksiyasının ekstremumlarını tapaq:

1. 
   
   
2. 
   
   

3. torəmələrin işarəsi “+”-dir,yəni funksiya artandır.
) torəmələrin işarəsi “-“-dir,yəni funksiya azalandır
4. Deməli, .
5.
.

Sfera və kürə. Sferanın tənliyi.
Fəzanın verilmiş nöqtəsindən verilmiş məsafədə olan bütün nöqtələrdən ibarət fiqura sfera deyilir. Verilmiş nöqtə O sferanın mərkəzi, verilmiş məsafəyə R sferanın radiusu deyilir. Sferanın istənilən iki nöqtəsini birləşdirən parçaya onun vətəri, mərkəzdən keçən vətərə diametri deyilir.
Sferanın mərkəzi ilə ixtiyarı nöqtəsini birləşdirən parçaya onun radiusu deyilir.
Fəzanın verilmiş nöqtəsindən məsafələri verilmiş məsafədən böyük olmayan bütün nöqtələrdən ibarət çoxluğa kürə deyilir. Sfera kürənin sərhədidir.
Fərz edək ki, sferanın mərkəzi M(a;b;c) nöqtəsidir və onun radiusu R-ə bərabərdir. X(x;y;z) nöqtəsi sferanın ixtiyari nöqtəsi olsun.
Sferanın tərifinə görə: MX = R və MX² = R².
Iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə: (x-a)² +(y-b)²+(z-c)² = R².
Sferanın mərkəzi koordinat başlanğıcında olsa, a=b=c=0 olur. Onda sferanın tənliyi aşağıdakı kimi yazılır: x² + y² + z² = R².
Sferanın kürənin istənilən diametrini fırlanma oxu qəbul etmək olar. Sferanın (kürənin) oxundan keçən müstəvi ilə kəsişməsinə sferanın (kürənin) ox kəsiyi deyilir. Kürəni sferanı hər hansı müstəvi ilə kəsdikdə o iki hissəyə bölünür. Bu hissələr uyğun olaraq kürənin sferanın seqmenti adlanır. Kürənin onu kəsən iki paralel müstəvi arasında qalan hissəsinə kürə qatı deyilir.


Sferanın müstəvi ilə qarşılıqlı vəziyyəti.
Sferaya toxunan müstəvi. Sferanın sahəsi.
Sferanın müstəvi ilə üç qarşılıqlı vəziyəti mövcuddur. 1) Sfera ilə müstəvinin ortaq nöqtəsi yoxdur. 2) Sfera ilə müstıvinin bir ortaq nöqtəsi var. 3)Sfera ilə müstıvi kəsişir.
Teorem 1: Sfera ilə müstəvinin kəsişməsi çevrədir. Bu çevrənin radiusu r = ilə tapılır. Burada R sferanın radiusu, d-sferanın mərkəzindən müstəviyə qədər məsafədir.
Sfera (kürə) ilə ancaq bir ortaq nöqtəsi olan müstəviyə sferaya (kürəyə) toxunan müstəvi deyilir. Ortaq nöqtə toxunma nöqtəsi adlanır.
Teorem 2: Sferaya toxunan müstəvi toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpentikulyardır.
Bütün təpələri sfera üzərində olan çoxüzlüyə sfera(kürə)daxilinə çəkilmiş çoxüzlü, sferaya(kürəyə) isə çoxüzlü xaricinə çəkilmiş sfera(kürə) deyilir.
Bütün üzləri sferaya(kürəyə) toxunan çoxüzlüyə sfera(kürə) xaricinə çəkilmiş çoxüzlü, sferaya(kürəyə) isə çoxüzlü daxilinə çəkilmiş sfera(kürə) deyilir.
Sfera xaricinə çəkilmiş çoxüzlülərin ən böyük ölçüsü sıfıra yaxınlaşdıqda onların tam səthinin limiinə sferanın sahəsi deyilir. S = 4𝜋R².


Funksiyanın parçada ən böyük
və ən kiçik qiymətləri.

Funksiyanın parcada bir necə maksimum ,minumumları ola bilər.Parcada kəsilməz funksiyanın parcanın uc nöqtələri də daxil olmaqla aldığı qiymətlərin ən böyüyünə onun , aldığı qiymətlərin ən kiciyinə isə deyilir.

– ni tapmaq sxemi:
1.Funksiyanın törəməsini hesablamaq,
2.Böhran nöqtələrini tapmaq,
3.Böhran nöqtələrində və qiymətlərini hesablamaq.
4.Bu tapılmış qiymətlər müqayisə olunur və onlardan ən böyüyü və ən kiciyi götürülür.

Misal. funksiyasının parcasında ƏBQ,ƏKQ –lərini tap.

0 ,-2, 2 nöqtələrini funksiyada yerinə yazaq.



Deməli :


Törəmənin tətbiqi ilə funksiyanın
araşdırılması və qrafikinin qurulması.

1. 
   Funksiyanın təyin oblastını tapmalı.
   
2. 
   Funksiyanın tək və ya cüt olduğunu müəyyən etməli.
   
3. 
   Funksiyanın dövriliyini araşdırmalı.
   
4. 
   Funksiyanın qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmalı.
   
5. 
   Funksiyanın işarəsinin sabit saxladığı aralıqları müəyyən etməli (bunun ücün : funksiyanın kəsilmə nöqtələrini (əgər varsa) və koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini koordinat müstəvisində qeyd etmək ,alınan aralıqların hər birində funksiyanın işarəsini tapmaq.
   
6. 
   Funksiyanın artma ,azalma aralıqlarını tapmalı.
   
7. 
   Funksiyanın ekstremum nöqtələrini və ekstremumlarını tapmalı.
   
8. 
   Bu şərtlərin hər birini koordinat müstəvisində qeyd etməklə funksiyanın qrafikini qurmalı.
   

Misal. funksiyasının qrafikini quraq.

1.
2 ,deməli funksiyanə tək, nə cütdür.
3.Funksiya dövrü deyil.
4. oxu ilə kəsişmə nöqtələri: olmalı


oxu ilə kəsişmə nöqtələri: olmalı

=0 intervallar üsulu ilə funksiyanın

Və funksiya kəsilməzdir.
6.
bu nöqtələri ədəd oxunda qeyd edib
intervallar üsulu ilə hər bir aralıqda törəmənin işarəsini müəyyən edirik. 7.
8.Cədvəl:
9 .qrafik:

Coxüzlülərin həcmi anlayışı.
Düzbucaqlı paralepipedin həcmi.
Cisimlərin həcmi onun əhatə etdiyi fəza hissəsini xarakterizə edən ədəddir. Sonlu sayda üçbucaqlı piramidalara ayrılan cisimlərə sadə cisimlər deyilir. Sadə cisimlərin həcimlərinin aşağıdakı xassələri var.

1. 
   Hər bir sadə cismin həcmi müsbət ədəddir.
   
2. 
   Bərabər sadə cisimlərin həcmləri bərabərdir.
   
3. 
   Ortaq daxili nöqtəsi olmayan hissələrə bölünmüş sadə cismin həcmi bölündüyü hissələrin həcmləri cəminə bərabərdir.
   
4. 
   Kubun həcmi tilinin kubuna bərabərdir.
   

Tili uzunluq vahidinə bərabər olan kubun həcmi həcmin ölçü vahidi adlanır. Əsas həcm vahidləri 1 mm³, 1sm³, 1dm³, 1m³, 1km³ – dir. Neft barellə,mayelər isə litrlə ölçülür.
Teorem 1: Düzbucaqlı paralelepipedin həcmi onun üç ölçüsünün hasilinə bərabərdir.
V = a∙b∙c. Burada a,b,c paralelepipedin bir təpəsindən çıxan üç tilidir.


Paralepipedin həcmi. Prizmanın həcmi.
İki üzü bərabər uyğun tərəfləri paralel çoxbucaqlı qalan üzləri paraleloqram olan çoxüzlüyə prizma deyilir. Oturacaqları papaleloqram olan prizmaya paralelipiped deyilir.
Teorem 1: Düz prizmanın həcmi oturacağı onun perpentikulyar kəsiyinə, hündürlüyü isə yan tilinə bərabər olan düz prizmanın həcminə bərabərdir.
Teorem 2: Düz papalelepipedin həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinə bərabərdir.
V = S_ot∙H.
Teorem 3: Mail papalelepipedin həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinə bərabərdir.
V = S_ot∙H.
Teorem 4: Prizmanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinə bərabərdir.
Nəticə: Mail prizmanın həcmi onun perpentikulyar kəsiyinin sahəsi ilə yan tili hasilinə bərabərdir.
Piramidanın həcmi. Kəsik piramidanın həcmi.
Bir üzü hər hansı çoxbucaqlı qalan üzləri ortaq təpəli üşbucaqlar olan çoxüzlüyə piramida deyilir.
Ortaq təpəli üçbucaqlara piramidanın yan üzləri, onların birləşməsinə piramidanın yan səthi, çoxbucaqlıya piramidanın oturacağı,bütün yan üzlərin ortaq nöqtəsinə piramidanın təpəsi, yan üzlərin ortaq tərəflərinə piramidanın yan tilləri, təpədən oturacağa perpentikulyara piramidanın hündürlüyü deyilir. Yan üzdə təpədən oturacağın tərəfinə çəkilmiş hündürlüyə apofem deyilir.
Teorem1: Piramidanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinin üçdə birinə bərabərdir. V = S_ot∙_∙H.
Teorem 2: Oturacaqlarının sahələri S₁ və S₂ hündürlüyü H olan kəsik piramidanın həcmi: V = H(S₂ + + S₁) düsturu ilə hesablanır.
Oxşar coxüzlülərin həcmləri nisbəti.
Həndəsi çevirmə zamanı fəzanın ixtiyari iki nöqtəsi arasındakı məsafə eyni bir müsbət ədəd dəfə dəyişərsə, belə çevirməyə fəzanın oxşarlıq çevirməsi deyilir. Başqa sözlə fəzanın ixtiyari X və Y nöqtəsini uyğun olaraq X₁ və Y₁ nöqtəsinə çevirmədə X₁Y₁=k∙XY olarsa, bu çevirməyə oxşarlıq çevirməsi k ədədinə (k>0) isə oxşarlıq əmsalı deyilir. Oxşarlıq çevirməsində F fiqurunun çevrildiyi F΄ fiquruna ona oxşar fiqur deyilir və F~F΄ kimi işarə olunur.k=1 olduqda oxşarlıq çevirməsi hərəkət olur.
Teorem 1: İki oxşar çoxüzlünün həcmlıri nisbəti oxşarlıq əmsalının kubuna bərabərdir.
Teoremi əvvəlcə oxşar piramidalar üçün isbat edək. Burada Oxşarlıq əmsalı k olsun.
Bu oxşarlıq çevirməsində P₁ piramidası P₂ piramidasına keçir. P₁-in hündürlüyü H₁ oturacağının sahəsi S₁, P₂-in hündürlüyü H₂ oturacağının sahəsi S₂ olsun. Onda:
= = ∙ = k∙k² =k³.

İbtidai funksiyanın tərifi. Qeyri - müəyyən inteqral.
Qeyri- müəyyən inteqralın əsas xassələri.
Biz törəmə bəhsində verilmiş funksiyanın törəməsini tapırdıq.Lakin bir cox məsələlərdə törəməsinə və ya diferensialına görə funksiyanın özünü tapmaq lazım gəlir.Yəni funksiyası verildikdə funksiyasını tapmaq lazım gəlir ki,
.
Tərif. Verilmiş aralığşn bütün nöqtələrində
.
bərabərliyini ödəyən funksiyası həmin aralıqda funksiyasının adlanır.
Misal 1. funksiyası aralığında funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.Cünki,

Misal 2. funksiyası aralıgında funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.Cünki,

Teorem. Tutaq ki, funksiyası verilmiş aralıqda kəsilməz funksiyasının ibtidai funksiyasıdır.Onda ixtiyari C sabiti ücün :
Funksiyası da həmin aralıqda fuksiyasının ibtidai funksiyasıdır.

1. 
   Kəsilməz funksiyasının verilmiş aralıqdakı istənilən ibtidai funksiyası
   

şəklindədir.

-yə ibtidai funksiyaların deyilir.
Bu teoremin həndəsi mənası:
f(x) funksiyasının istənilən iki ibtidai funksiyasından birinin qrafiki digərinin qrafikindən Oy oxu boyunca paralel köçürməklə alınır.
Teorem. Hər bir kəsilməz funksiyanın ibtidai funksiyası var.


Qeyri –müəyyən inteqral.
Törəməsinə və ya diferensialına görə funksiyanın özünün tapılması əməlinə ,yəni ibtidai funksiyanın tapılması adlanır.
Bu əməl törəmənin tərsi əməlidir.
Tərif.Verilmiş funksiyasının bütün ibtidai funksiyalarının ümumi ifadəsinə
onun deyilir və kimi işarə edilir.(“inteqral ef iks de iks “ kimi oxunur)


Silindrin həcmi.
Düzbucaqlının bir tərəfi ətrafında fırlanmasından alınan cisimə Silindr deyilir.
Alınan dairələr silindrin oturacaqları adlanır. Oturacaqlar arasındakı məsafə silindrin hündürlüyü, oturacağın radiusu isə silindrin radiusu adlanır.
Silindrin hündürlüyü həmdə onun oxu adlanır. Silindrin oxundan keçən müstəvi ilə kəsiyinə onun ox kəsiyi deyilir.
Ox kəsiy kvadrat olan silindirə bərabərtərəfli silindr deyilir.
Silindr daxilinə çəkilmiş düzgün n bucaqlı prizmanın oturacağının tərəflərinin sayını sonsuz artırdıqda prizmanın həcminin limitinə silindrin həcmi deyilir.
Teorem 1: Silindrin həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyü hasılınə bərabərdir.
V = 𝜋∙R²∙H.


Kürənin həcmi, Kürə seqmentinin və
kürə sektorunun həcmi.
Fəzanın verilmiş nöqtəsindən verilmiş məsafədə olan bütün nöqtələrdən ibarət fiqura sfera deyilir. Verilmiş nöqtə O sferanın mərkəzi, verilmiş məsafəyə R sferanın radiusu deyilir. Sferanın istənilən iki nöqtəsini birləşdirən parçaya onun vətəri, mərkəzdən keçən vətərə diametri deyilir.
Sferanın mərkəzi ilə ixtiyarı nöqtəsini birləşdirən parçaya onun radiusu deyilir.
Fəzanın verilmiş nöqtəsindən məsafələri verilmiş məsafədən böyük olmayan bütün nöqtələrdən ibarət çoxluğa kürə deyilir. Sfera kürənin sərhədidir.
Teorem 1: Radiusu R olan Kürənin həcmi V = 𝜋 R³ düsturu ilə hesablanır .
Kürə yarımdairənin fırlanmasından alınır. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan çevrənin tənliyi x² + y² = R² olduundan, y² = R² – x² alırıq. Absis oxu ətrafında fırlanmadan alınan cismin həcmi disturuna görə:
V=𝜋 = 𝜋 = 𝜋R³ .
Teorem 2: Kürənin radiusu R və hündürlüyü H olan kürə seqmentinin həcmi
V = 𝜋H²(R - H) düsturu ilə hesablanır.
Teorem 3: Kürə sektorunun həcmi uyğun kürə seqmeninin səthinin sahəsi ilə kürə radiusunun hasilinə bərabərdir.
V = 𝜋R²H. Burada R kürənin radiusu , H isə uyğun kürə seqmentinin hündürlüyüdür.

Müəyyən inteqral. Nyuton-Leybnis düsturu.
Müəyyən inteqralın hesablanma qaydaları.
Funksiyanın törəməsinin tapılmasının yəni diferensiallanmasının tərsi olan, törəməsi verilmiş funksiyanın özünün tapılması onun inteqrallanması adlanır.
Verilmiş aralıqdan götürülmüş bütün x-lər üçün F^′(x) = f(x) olarsa, onda F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Verilmiş f(x) funksiyasının bütün ibtidai funksiyaları üçün ümumi ifadəyə onun qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və kimi işarə olunur. Qeyri-müəyyən inteqralın tərifinə əsasən dx = F(x) +C, C-ixtiyari sabitdir.
[a;b] parçasında kəsilməz f(x) funksiyasının F(x) ibtidai funksiyasının bu parçaya uyğun F(b) – F(a) artımına f(x) –in həmin parçada müəyyən inteqralı deyilir və kimi yazılır. Beləliklə müəyyən inteqralın tərifinə əsasən
= F(b) – F(a)
bərabərliyini alırıq. Bu bərabərliyə Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.
Müəyyən inteqralın hesablanması üçün paylama, dəyişənin əvəz edilməsi və hissə-hissə inteqrallama üsulları var.

1. 
   Paylama
   

Paylama üsulu birbaşa inteqralama üsuluda adlanır. Bu zaman aşağıdakıları nəzərə almaq lazımdır.

1. 
   İnteqrallama sərhədinin yeri dəyişərsə onun işarəsi əksinə dəyişir;
   

= - .

2. 
   Sabit vuruğu inteqral altı ifadədən inteqrallamanın qarşısına çıxarmaq olar;
   

= k .

3. 
   İnteqral altı funksiya funkusiyaların cəmi şəkilindədirsə, onu bu funksiyaların inteqralları cəmi şəkilində yazmaq olar.
   

= + .

2.