|
Feyerbax teoremasi
Keling, inversiyaning asosiy asosiy qo’llanilishini ko’rib chiqishni to’qqiz nuqtadan iborat aylana uchun ko’rib chiqishdan boshlaymiz.Biz birinchi navbatda ba’zi bir teoremalar va lemmalarni eslaymiz. ABC uchburchagining Eyler doirasi uning tomomlari o’rta nuqtalaridan o’tuvchi aylanadir.Bu doira shuningdek berilgan ABC uchburchakning asoslarini va orgomarkazini (ya’ni, ularning balandliklari keishish nuqtasini) burchaklari bilan bog’laydigan uchta segmentning o’rta nuqtalarini o’z ichiga oladi. Chunki Eyler doirasi tabiiy ravishda to’qqiz nuqtani o’z ichiga oladi. ABC uchburchagi bilan bo’g’langan bo’lsa , uni to’qqiz nuqtali aylana deb ham atashadi.
Quyidagi lemmada ushbu uchburchakning ba’zi bir xossalarini o’rganamiz.
Lemma. Berilgan ABC uchburchakning , p- uchburchakning yarim perimetri, va lar aylanalar markazlari, va ularning radiuslari hamda ularga umumiy urinmalar berilgan bo’lsa quyidagilar o’rinli:
Bularni har birini alohida ko’rib chiqib isbotlab o’tirmaymiz.
I) Agar DEF ABC –uchburchakning BC, AC, AB tomonlarining o’rta nuqtalari bo’lsa, ushbu uchburchakga ichki chizilgan doira uchta DEF nuqtalarga urinishini ko’rsating. (Feyerbax teoremasi)
Yechim: (D), (E), (F) aylanalarni va nol radiusli va nol radiusli (I) aylana berilgan bo’lsin. biz uchun (X) va (Y) aylanalarning umumiy urinmasi bo’lsin, so’ngra
,
Keysi teoremasining teskarisini qo’llash orqali, biz bularning bir nechta kombinatsiyasini (+) va (-) belgilari yordamida tekshiramiz. bu ahamiyatli.
Demak bunday doira mavjud.
2–§.Umumlashgan Ptolomey teoremasi va Ptolomey teoremasiga doir turli misollar
1-masala. (O) markazli va radiusi AB ga teng bo’lgan doira berilgan bo’lsin. P va Q ikki nuqta (O) markazli aylanada yotsin, hamda AB diametrga tegishli bo’lmasin. T nuqta Q nuqtaning diametrdagi ortogonal proyeksiyasi, va radiusli aylanalar (O) radiusli aylanaga ichki chizilgan hamda bu aylanalarning diametrlari mos ravishda TA, TB ga teng. PC va PD esa P nuqtadan , aylanalarga o’tkazilgan urinmalardir bo’lsa, PC+PD=PQ ekanligini isbotlang.
Yechim. va radiusli aylanalarning umumiy urinmasi uzunligi bilan belgilaylik. Biz Keysi teoremasidan foydalanamiz, , radiusli aylanalar uchun (O) radiusli aylanaga ichki chizilgan. QT ichki chizilgan ikki aylana uchun umumiy urinma vazifasini o’taydi. Demak
2-masala. ABC uchburchak berilgan, aylanalar esa AB,AC va BC tomonlarning o’rta nuqtalarida urunuvchi aylanalar bo’lsin. Bu aylanalar A,B,C nuqtalarni o’z ichiga o’z ichiga olmaydi. Agar lar esa bu berilgan uchta aylanalarning orasidagi umumiy tashqi urinmalarining uzunliklarini bildirsa, quyidagini isbotlang
Yechim. lar mos ravishda A, B , C nuqtalardan aylanalarga umumiy urinmalar uzunliklari bo’lsin. Berilgan uchta aylanalar barchasi ABC uchburchakka ichki chizilgan aylana bilan umumiy nuqtalarga ega va biz Keysi teoremasini qo’llash orqali quyidagilarga natijaga ega bo’lamiz:
Shunga o’xshash mulohazalardan, ekanligi kelib chiqadi.
3-masala. ABC uchburchakning A aylana markazi va B, C uchlarini kesib o’tadi va boshqa bir aylanaga urinadi. P, Q, T nuqtalar AB, AC va K aylanaga tegishli. Agar M nuqta BTC yoyning o’rta nuqtasi bo’lsa, BC, PQ, MT lar orasidagi bo’g’lanishni toping.
Yechim: Mos ravishda r va R, K va aylanalarning radiuslari bo’lsin. aylana uchun Keysi teoremasini qo’llash orqali quyidagi natijaga ega bo’lamiz
PQ orqali BC dan U nuqta kesilgan bo’lsin. Menelay teoremasidan ABC uchburchagi UPQ bilan kesilgan
Shunday qilib T nuqta TM ning bisektrissasi bo’ladi.
4-masala. ABC uchburchakda D,E,F nuqtalar mos ravishda BC,CA va AB tomonlarning o’rta nuqtalari. Ushbu uchburchakka ichki chizilgan aylana (I) va ABC uchburchakning 9 nuqtali aylanasi ABC uchburchakning Feyerbax nuqtasi orqali ichki urinmasi segmentlardan biri qolgan ikkitasining yig’indisiga teng ekanligini ko’rsating.
Yechim: deb faraz qilaylik. Uchburchakka ichki chizilgan (I) doira BC tomonga M nuqtada urinadi. Keysi teoremasini markazi N nuqtada va radiusi ga teng bo’lgan 9 nuqtali aylanaga foydalanish orqali quyidagi natijalarga ega bo’lamiz.
Shunga o’xshash farazlar orqali bizga quyidagilar ma’lum bo’ladi.
Shuningdek ohirgi 2 ta natijaning yig’indisi bizga quyidagi natijani beradi
Bu istalgan 2 ta segment uchun o’rinli.
5-masala. ABC uchburchak berilgan bunda AC>AB. A nuqta orqali aylanaga urinmaga o’tkazilgan. S nuqta aylanadagi BC yoyning o’rtasi, unda A nuqtani o’z ichiga olmaydi va S esa ST dan aylanaga urinish nuqtasi bo’lsa . Quyidagini isbotlang
Yechim: M va N nuqtalar AC, AB ning aylanaga urinish nuqtalari bo’lsin, Keysi teoremasi bo’yicha biz ushbu natijalarga ega bo’lamiz.
Agarda U nuqta B nuqtaning AS dagi aksi bo’lsa u holda, shuning uchun ham . Ptolomey teoremasini ABSC to’rtburchak uchun qo’llash orqali biz quyidagi natijaga ega bo’lamiz.
Mos ravishda ifodani soddalashtirsak biz izlagan natijani beradi
6- masala. Ikkita teng va ayalanalar ikki nuqtada kesishadi. aylanadan A ,C va aylanadan esa B, D nuqtalar belgilangan (A,B,C,D nuqtalar shu tartibda kolliner)
Har ikkala aylanalar uchun va tashqi urinmalar bo’lsa, AB=CD ekanligini ko’rsating.
Yechim: P nuqta va aylanalarning kesishish nuqtasi bo’lsin. Markazi P va PB PD bo’lgan inversiya va l chiziqni o’z ichiga oladi. va doiralar ikkita parallel va ga urinadi hamda aylanadan boshqa aylanaga o’tadi.
Demak bu ning inversiyasidir. Keyinchalik, , ga nisbatan simmetrikdir bo’ladi.
va , (D), (B), hamda (A), (C), ga Keysi teoremasini qo’llash orqali quyidagicha natijani olamiz.
ekanligi kelib chiqadi.
7- masala. ABC teng tomonli uchburchak yon tomoni uzunligi L ga teng. Agar (O,r), (O,R) aylanalar ushbu uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalar bo’lsa, P nuqta ichki chizilgan aylanadan tanlab olingan , , lar esa P nuqtaning BC, CA, AB dagi proyeksiyalari. umumiy tashqi urinmalar uzunliklarining yig’indisining doimiy qiymatini toping.
Yechish: A dan gacha bo’lgan segmentni bilan belgilaymiz. Keysi teoremasini (A), (B), (C), lar hammasi(O,R) aylana uchun urinma ekanligini bilgan holda qo’llash orqali quyidagi natijaga ega bo’lamiz
Xuddi shunga o’xshash ekanligi kelib chiqadi. Eyler teoremasidan
va P lar uchun quyidagi natijalarni topsak
Bundan biz quyidagi yangi natijaga ega bo’lamiz
Bularni mos ravishda qo’shish orqali quyidagi natijaga ega bo’lamiz
Bizdan so’ralgan natija esa
ekanligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
