«Matematika o’qitish metodikasi» bakalavr ta’lim yo’nalishi

1-Teoremaning isboti. ( Biz 1-rasmdagi holat bo’yicha ishlaymiz) Teoremani isbotlashdan oldin, quyidagi lemmaga e’tibor qarataylik.
2-Lemma. Ixtiyoriy ikkita ( ),( ) aylana berilgan va -ularning umumiy tashqi urinmasi, -ularning umumiy ichki urinmasi bo’lsin. Markazi ikkita aylananing umumiy sohasida (agar kesishsa) yoki umuman ikkalasining ham tashqarisida yotgan ixtiyoriy inversion ko’chirishdan qat’iy nazar va nisbatlar invariant bo’lib qoladi, ya’ni o’zgarmaydi.
Lemmaning isboti. Aylanalarni markazlari nuqtalar ekan, to’g’ri chiziq bu aylanalarni nuqtalarda kesib o’tsin (2-rasmga qarang).
Agar desak,

keladi. Ixtiyoriy 2 aylanaga ham ortoganal bo’lgan aylana olsak, bu aylanani markazi aniq aylanalarning radikal o’qida yotadi va bu aylana ( ),( ) aylanalarning umumiy radikal o’qida kesishish nuqtasi bo’lsin (aytaylik shu ikkita nuqtaning bittasi). U xolda nuqta markazli ma’lum bir koeffitsiyentli inversiyani olib,



3-rasm
, aylanalarni o’z-o’ziga o’tkazadigan qilish mumkin va quyidagi nisbat keladi

Endi ixtiyoriy inversiyani olib ko’chirsak: , va umuman olganda biz baholayotgan sistema boshqa sistemaga ko’chadi (faqat inversion ko’chadi) va

ga ega bo’lamiz. Xuddi shunday uchun ham isbotlash mumkin. Lemmaning isboti tugadi.
Bu lemma orqali Keysi teoremasini ikkala tomonga ham isbotlashimiz mumkin;
Isbotni boshlashdan oldin eng kichik radiusli aylanani belgilab olish muhim rol o’ynaydi.
Bu aylana bo’lsin. Endi sistemani radiusga kichraytiramiz, bunda hech bir aylananing markazi o’zgarmaydi, shunchaki radiuslari , , va ga o’tadi.
Shunga mos ravishda, barcha aylananing mos nuqtalari ham mos ravishda ko’chiriladi.
Ohiridagi 4-aylana nollik aylanaga aylanib qoladi, ya’ni u bitta nuqtaga o’tadi
(3-rasmga qarang unda qanday ko’chirilishi aks etgan ). Ma’lumki, aylanalarning umumiy urinmalari uzunliklari o’zgarmaydi va agar aylanalarga urinuvchi
aylana mavjud bo’lsa, yangi hosil bo’lgan aylanalarga urunuvchi aylana ham mavjud bo’ladi. Aniqrog’i, biz aylanalarni qisqartirish natijasida hosil bo’lgan aylanalarga almashtira olamiz. Bu bizga to’g’ridan-to’g’ri deb faraz qilish imkonini beradi.
Endi markazli va ixtiyoriy r radiusli inversiyani qaraylik. Yuqorida keltirilgan
2-lemmadan biz quyidagilarni topamiz.

4-rasm

Demak bizdagi tenglik, tenglikga teng kuchli.
Buning ma’nosi shuki, uchta aylanalar umumiy urinmaga ega, ya’ni
tenglik bajariladi, faqat va faqat aylanalarga urinuvchi umumiy urinma mavjud bo’lsa. Teskari inversiya yordamida, bu umumiy urinma aynan biz qidiryotgan aylanaga ya’ni nuqtadan o’tib aylanaga urinuvchi aylanaga o’tadi.
Isbot tugadi.
Izoh. Keysi teoremasini bir nechta tatbiqlari bor. Masalan, Feyerbax teoremasiga, Emelyanov teoremasiga to’g’ridan-to’g’ri qo’llash mumkin. Bundan tashqari ko’plab olimpiada masalalariga to’liq yoki qisman qo’llash mumkin.
Ptolomey teoremasi va uning isboti
Evklid Geometriyasida Ptolomey teoremasi qavariq to’rtburchakning to’rt tomoni va uning 2 ta diagonali o’rtasidagi munosabatdir. Teorema yunon astronomi va matematigi Klavdiy Ptolomey sharafiga nomlangan.

5-rasm.
Bu munosabatni yozma ravishda quyidagicha ifodalash mumkin.
Agar to’rtburchakni aylanaga ichki chizish mumkin bo’lsa, uning dioganallari uzunliklarining ko’paytmasi qarama-qarshi tomonlarining juftlarining uzunliklari ko’paytmalari yig’indisiga teng.
Bundan tashqari Ptolomey teoremasining teskarisi ham o’rinli.
To’rtburchakda uning ikki juft qarama-qarshi tomonlari uzunliklari ko’paytmalari yig’indisi dioganallari uzunliklari ko’paytmasiga teng bo’lsa, to’rtburchakga tashqi aylana chizish mumkin