«Matematika o’qitish metodikasi» bakalavr ta’lim yo’nalishi

Uchburchaklarning o’xshashligi orqali isbotlash.

6-rasm.
qavariq to’rtburchak bo’lsin. yoyga ichki chizilgan burchaklar ga teng va yoyga ichki chizilgan burchaklar bo’lsin. nuqta ni ; chunki ,
Endi umumiy burchaklar bo’yicha ga o’xshash ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday ga o’xshaydi.
Shunday qilib, va lar o’zaro ekvivalent, va .
Ikkita tenglikni qo’shish orqali biz

ga ega bo’lamiz va buni mos ravishda quyidagicha qavslarga ajratsak

hosil bo’ladi. Lekin ekanligini hisobga olsak

ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Yozilgan isbot faqat oddiy siklik to’rtburchaklar uchun amal qiladi. Agar to’rtburchak
noqavariq bo’lsa , nuqta chiziq segmentidan tashqarida joylashgan bo’ladi.
Ammo bu holatda kutilgan natijani beradi.
Inversiya bilan isbotlash.
Keling, ichki doiradagi uchta nuqtani va ularning aylanadan tashqaridagi chiziqdagi mos nuqtalarini ko’rib chiqaylik. Inversiya aylanasining markazi O nuqtada bo’lsin, bu nuqtalar aylana markazi bilan siklik to’rtburchakning burchaklarini hosil qiladi.
Biz dioganallarning ko’paytmasi qarama-qarshi tomonlarining ko’paytmasining yig’indisiga teng ekanligini ko’rsatamiz.

7-rasm
Birinchidan, quyidagi ikkita uchburchak o’xshash. O’ngdagi uchburchak kattaroq uchburchakning kattaroq versiyasi. Ularning ikkalasi ham burchak umumiy .
Inversiya bizga chap rasmdagi bir xil miqdorga kattalashganini ko’rsatadi.
Ikki tomon va ularning qo’shni burchaklari o’xshash bo’lsa, bu uchburchaklar o’zaro o’xshash bo’ladi.
Osonroq tushuntirish uchun quyidagi ma’lumotlarni keltiramiz.

8-rasm
Xuddi shu texnikadan foydalanib , biz yana ikkita juft o’xshash uchburchakni topishimiz mumkin.

9-rasm
Ohirgi juftlik oldingi ikki uchburchakning kombinatsiyasi

Yuqoridagi rasmlardan inversiya to’rtburchakning to’rtta nuqtasining uchtasini to’g’ri chiziqqa aks ettiradi.
1-uchburchak juftligidan:

2-uchburchak juftligidan:

3-uchburchak juftligidan:

Yuqoridan yordamida soddalashtiramiz, ekanligi ma’lumligidan.


Bu yerda ni o’rniga qo’ysak quyidagiga ega bo’lamiz

Teorema isbotlandi.