Olimpiada masalalari

OLIMPIADA MASALALARI


1. ga ichki chizilgan aylana markazi I va AB, BC, AC tomonlarga urunish (.) lar mos ravishda to’g’ri chizig bu aylanani A₂ va A₃ (.)lar da kesadi. A₂ (.) ta A va A₃ (.) lar orasida xuddi shunday qolgan (.)lar ham aniqlangan. Isb: kesishadi.


Isboti: to’g’ri chiziqlar ning bissektrisalari ekanini isbotlaymiz.
teng yonli bo’lsin
ga tiralgan < lar teng => ning bissektrisasi B₁B₂ bo’ladi. xuddi shunday A₁A₂ va C₁C₂ ham ning bissektrisalari bo’ladi. Demak bissektrisalari to’g’ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi.
Isbotlandi.___2.'> Isbotlandi.


2. Markazlari O₁O₂ bo’lgan S₁va S₂ aylanalar M va N(.)larda kesishadi. M(.)ga yaqin bo’lgan urunma. S₁ ga A(.)da, S₂ ga B(.) da urinadi. B(.) dan AM ga o’tkasilgan da kesadi. B(.) ni diametiri qarama-qarshi (.)si C bo’lsin. U holda M,D,C (.)lar bir to’g’ri chiziqda yotishini isbotlang.


Isboti: deb olamiz




ni isbotlash yetarli yani ni isbotlaymiz.
ni isbotlash oddiy.



Isbotlandi.


3. O’tkir ning balandliklarinigo’rtalari mos ravishda bo’lsin, u holda ni isbotlang.


Yechish: BC ning o’rtasi A₃(.) bo’lsin bo’ladi lar bir aylanada yotadi.
lar ham bir aylanada yotadi.
lar bir aylanada yotadi. bo’ladi.
deb olamiz

demak
xuddi shunday

demak J:180⁰

4. ABCD siklik P, Q va R(.)lar mos ravishda D(.) dan BC, AC, ABlarga o’tkazilgan asoslari. U holda PQ=QR bo’lishi uchun larning bissektrisalari AC no’g’ri chiziqda kesishishi zarur va etarli bo’lishini isbotlang.