«Matematika o’qitish metodikasi» bakalavr ta’lim yo’nalishi

Ptolomey teoremasining qo’llanilishiga doir masalar
1- masala. ABC uchburchakda AB=7, AC=8 va BC=9 bo’lsin. D nuqta uchburchakka tashqi chizilgan aylanada joylashgan, AD ni teng ikkiga bo’ladi. AD/CD ning qiymatini toping.
Yechish: BD ning uzunligini x sifatida belgilaymiz va CD ham x ga teng bo’ladi, teng uzunlikdagi yoylarni tortib turibdi.Ptolomey teoremasidan foydalansak, bo’ladi. Bizdan so’ralayotgan narsa AD/CD=15/9

Javob: 5/3
2- masala. Muntazam yettiburchakda ABCDEFG buni isbotlang:
Yechish: ABCDEFG muntazam yettiburchak bo’lsin va biz undan ABCE to’rtburchakni ko’rib chiqaylik. Agar a, b va c mos ravishda tomonining uzunliklarini hamda uzun, qisqa dioganalini ifodalasa, Ptolomey teoremasi bizga quyidagi natijani beradi

Demak bu mos ravishda ni ifodalaydi.
3- masala. Aylanaga ichiga oltiburchak chizilgan. Tomonlarining beshtasining uzunligi 81 ga teng, oltinchi AB tomonining uzunligi esa 31 ga bo’lsa, A uchidan chiqqan dioganallari uzunliklari yig’indisini toping.

Yechim: Keling x=AC=BF, y=AD=BE va z=AE=BD deb olaylik, Ptolomey teoremasini
ABCD to’rtburchakka qo’llasak , ACDF uchun qo’llasak esa . Bu tenglamalarni ayirsak esa, kvadrat tenglama hosil bo’ladi va bundan ekanligi kelib chiqadi. Ptolomey teoremasini ADEF ga qo’llash esa va bundan ekanligi kelib chiqadi. Nihoyat bizdagi birinchi tenglamamizga larni topilgan qiymatlarini qo’yish orqali
x=105 ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan natija

javob:384
4- masala. Tomonlarining uzunliklari 2, 2, 7, 7, 11 va 11 bo’lgan olti burchak aylanaga ichki chizilgan. Aylana diametrini toping.
Yechish: Aylananing yarmini ko’rib chiqaylik, ABCD to’rtburchak AD diametri bo’ladi. AB=2, BC=7 va CD=11 bo’lsin. AC va BD diagonallarini o’tkazamiz. E’tibor bering bu diagonnalar to’g’ri burchakli uchburchak hosil qiladi. Ptolomey teoremasidan foydalangan holda quyidagi tenglamalarni tuza olamiz.

Bundan AD =14 ekanligi kelib chiqadi.