Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Рассмотрим еще одно свойство множества R действительных чисел, которое существенно отличает его от множества Q рациональных чисел. Рассматривая сечения в множестве рациональных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения не находилось пограничного рационального числа, которое производит это сечение (сечение третьего вида). Именно эта неполнота множества рациональных чисел, наличие в нем этих пробелов и послужили основанием для введения новых чисел – иррациональных. Спрашивается, а как будет обстоять дело, если производить сечение множества действительных чисел? Будут ли такие же «дыры», как в случае сечения множества рациональных чисел, или нет?
Для ответа на эти вопросы рассмотрим сечение множества R действительных чисел, т.е. такое разбиение R на два непустых класса и , что:
1) каждое действительное число попадает в одно и только одно из множеств и ;
2) каждое число меньше каждого числа .
Имеет место
Теорема Дедекинда. Для всякого сечения в множестве действительных чисел существует действительное число , которое производит это сечение. Это число будет: 1) либо наибольшим в нижнем классе ; 2) либо наименьшим в верхнем классе .
Доказательство. Обозначим через А множество всех рациональных чисел из множества , через – множество всех рациональных чисел, принадлежащих множеству . Очевидно, что множества А и образуют сечение в множестве рациональных чисел. Это сечение определяет некоторое действительное число . Оно должно попасть в один из классов или . Рассмотрим случай, когда . Докажем, что тогда является наибольшим в числом, т.е. имеет место утверждение 1) теоремы. Предположим противное, т.е. что существует действительное число , такое, что . Тогда по лемме 2 существует рациональное число r: , принадлежащее , а значит и А. Но рациональное число, принадлежащее нижнему классу сечения, определяющего действительное число , не может быть больше . Получили противоречие, из которого следует, что – наибольшее число в .