Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Аналогично доказывается, что если попадет в верхний класс , то имеет место утверждение 2) теоремы (доказать это утверждение дома самим студентам). Теорема доказана.
Таким образом, из теоремы Дедекинда следует, что в случае сечения множества R действительных чисел нет «дыр», имевших место для сечения множества Q рациональных чисел. Всегда есть пограничное действительное число, производящее данное сечение множества R. Это свойство множества R действительных чисел называется его полнотой или непрерывностью.

§ 2. Числовые множества, их границы


Действительные числа изображаются, как известно, точками числовой прямой, причем каждому действительному числу соответствует одна точка числовой прямой и обратно, каждой точке числовой прямой соответствует только одно действительное число. Как говорят, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством точек числовой прямой и множеством действительных чисел. Поэтому, говоря о числовых множествах, мы будем иметь в виду как подмножества множества R действительных чисел, так и подмножества точек числовой прямой.
Определение 1. Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху (соответственно, ограниченным снизу), если существует число М, такое, что для любого имеет место неравенство (соответственно, ). Число М называется верхней (соответственно, нижней) границей (или гранью) множества Е. Множество Е называется ограниченным, если существуют такие числа и , что для любого числа имеет место двойное неравенство .