Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

2) Пусть теперь среди чисел х множества Е нет наибольшего. Произведем сечение множества R действительных чисел следующим образом. К верхнему классу отнесем все верхние границы множества Е, а к нижнему классу А все остальные действительные числа . При этом все числа попадут в класс А, так как среди них нет наибольшего. По теореме Дедекинда существует действительное число , производящее данной сечение. Все числа , как принадлежащие классу А, не превосходят этого пограничного числа , т.е. – верхняя граница множества Е, т.е. и является в наименьшим числом по теореме Дедекинда. Поэтому .
Аналогично доказывается вторая часть теоремы о существовании точной нижней границы (это могут сделать студенты дома самостоятельно). Теорема доказана.
Из школьного курса математики известны некоторые специальные числовые множества: – интервал (открытый промежуток), – отрезок (замкнутый промежуток), , – полуинтервалы (открытый справа и слева соответственно), – вся числовая прямая, – лучи. Отрезки, интервалы и полуинтервалы называются промежутками.
Определение 4. Если а – некоторое действительное число, – любое положительное действительное число, то интервал называется - окрестностью точки а. Точка а называется центром окрестности, а число - радиусом окрестности. Множество называется проколотой - окрестностью точки а.