Условные экстремумы функций многих переменных

На тему: Условные экстремумы функций многих переменных.

План:

1. 
   Для начала рассмотрим случай функции двух переменных
   
2. 
   Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных
   
3. 
   Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
   

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции z=f(x,y) в точке M0(x0;y0) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи φ(x,y)=0.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие φ(x,y)=0. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует y=ψ(x), то подставив y=ψ(x) в z=f(x,y), получим функцию одной переменной z=f(x,ψ(x)). В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.


Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.
Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
⎪⎩∂F∂x=0;∂F∂y=0;φ(x,y)=0.
Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2. Если в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум.
Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: φ′xdx+φ′ydy=0, dy=−φ′xφ′ydx, поэтому в любой стационарной точке имеем:
d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2=F′′xxdx2+2F′′xydx(−φ′xφ′ydx)+F′′yy(−φ′xφ′ydx)2==−dx2(φ′y)2⋅(−(φ′y)2F′′xx+2φ′xφ′yF′′xy−(φ′x)2F′′yy)
Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

Красным цветом выделены элементы определителя ∣∣
∣∣F′′xxF′′xyF′′xyF′′yy∣∣
∣∣, который является гессианом функции Лагранжа. Если H>0, то d2F<0, что указывает на условный максимум. Аналогично, при H<0 имеем d2F>0, т.е. имеем условный минимум функции z=f(x,y).
Примечание относительно формы записи определителя H. показать\скрыть\


Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

1. 
   Составить функцию Лагранжа F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)
   
2. 
   Решить систему ⎧⎪
   

⎪⎩∂F∂x=0;∂F∂y=0;φ(x,y)=0.

3. 
   Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
   
   • 
     Составить определитель H и выяснить его знак
     
   • 
     С учетом уравнения связи вычислить знак d2F
     

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных
Допустим, мы имеем функцию n переменных z=f(x1,x2,…,xn) и m уравнений связи (n>m):
φ1(x1,x2,…,xn)=0;φ2(x1,x2,…,xn)=0,…,φm(x1,x2,…,xn)=0.
Обозначив множители Лагранжа как λ1,λ2,…,λm, составим функцию Лагранжа:
F(x1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λm)=f+λ1φ1+λ2φ2+…+λmφm
Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:
⎧⎪⎨⎪⎩∂F∂xi=0;(i=¯¯¯¯¯¯¯¯1,n)φj=0;(j=¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,m)
Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака d2F. Если в найденной точке d2F>0, то функция имеет условный минимум, если же d2F<0, – то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Определитель матрицы
∣∣
∣
∣
∣

∣∣∂2F∂x21∂2F∂x1∂x2∂2F∂x1∂x3…∂2F∂x1∂xn∂2F∂x2∂x1∂2F∂x22∂2F∂x2∂x3…∂2F∂x2∂xn∂2F∂x3∂x1∂2F∂x3∂x2∂2F∂x23…∂2F∂x3∂xn……………∂2F∂xn∂x1∂2F∂xn∂x2∂2F∂xn∂x3…∂2F∂x2n∣∣
выделенной в матрице L красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило:

• 
  Если знаки угловых миноров H2m+1,H2m+2,…,Hm+n матрицы L совпадают с знаком (−1)m, то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции z=f(x1,x2,x3,…,xn).
  
• 
  Если знаки угловых миноров H2m+1,H2m+2,…,Hm+n чередуются, причём знак минора H2m+1 совпадает с знаком числа (−1)m+1, то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции z=f(x1,x2,x3,…,xn).