Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Рассмотрим теорию Дедекинда (1831-1916, немецкий математик) новых чисел, которые будем называть иррациональными.
Разобьем множество Q рациональных чисел на два непустых множества А и так, что:
1) каждое рациональное число в одно и только в одно из множеств А или ;
2) каждое число меньше каждого числа .
Разбиение Q , удовлетворяющее указанным двум условиям, называется сечением в множестве рациональных чисел. Множество А называется нижним классом сечения, множество – верхним классом сечения. Обозначать сечение будем через .
Примеры.
1) Определим А как множество всех рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству , а к множеству отнесем все числа , для которых .
Ясно, что таким образом получим сечение множества рациональных чисел, причем число 1 принадлежит классу и является в нем наименьшим числом. В классе А наибольшего числа нет, так как какое бы число ни взять, между ним и 1 есть еще рациональное число, которое больше а (например, ).
2) К нижнему классу А отнесем все рациональные числа а, удовлетворяющие неравенству , к верхнему классу – рациональные числа такие, что .
Получим сечение, причем в верхнем классе нет наименьшего числа, а в нижнем классе есть наибольшее число 1.
3) Отнесем к классу А все положительные рациональные числа а, для которых , число нуль и все отрицательные рациональные числа, а к классу – все положительные рациональные числа , для которых .