Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом 1, множество N натуральных чисел ограничено снизу числом 1, множество ограничено, так как .
Заметим, что если М – верхняя граница непустого ограниченного сверху числового множества Е, то любое число, большее М, также будет его верхней границей, то есть у Е есть бесконечное множество верхних границ. Из всех верхних границ множества Е наибольший интерес представляет его наименьшая верхняя граница.
Определение 2. Наименьшая из верхних границ множества Е называется его точной верхней границей (или точной верхней гранью) и обозначается sup E (от латинского слова supremum – наивысшее).
Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества Е, ограниченного снизу.
Определение 3. Наибольшая из нижних границ множества Е называется его точной нижней границей (или точной нижней гранью) и обозначается inf E (от латинского слова infimum – наинизшее).
Имеет место
Теорема 1. Всякое непустое и ограниченное сверху (соответственно, снизу) числовое множество Е имеет точную верхнюю (соответственно, нижнюю) границу.
Доказательство. Проведем его для случая верхней границы. Рассмотрим два случая.
1) Предположим сначала, что среди чисел х множества Е найдется наибольшее . Тогда все числа множества будут удовлетворять неравенству , т.е. – верхняя граница множества Е. С другой стороны, поскольку , то для любой верхней границы М выполняется неравенство . Отсюда следует, что – точная верхняя граница множества Е.