Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Словесный способ. Функция задается словами. Например, целая часть числа х – это наибольшее целое число, не превосходящее х.
Определение 10. Функции и , заданные на некотором промежутке Х, называются тождественно равными на этом промежутке: , если их значения в каждой точке совпадают.
Пример. Тождественны ли функции:
1) и ;
2) и для ;
3) и ?
Решение. 1) , т.е. , т.е. функции тождественно равны.
2) по свойству .
3) , т.е. , функции не являются тождественно равными.


§ 9. Арифметические операции над функциями. Композиция функций


Определение 1. Пусть функции f и g заданы на множестве . Суммой функций f и g называется функция , значение которой в точке определяется как сумма значений функций f и g в этой точке, то есть
.
Аналогично определяется разность
,
произведение
,
частное функций, если ,
.
Определение 2. Пусть действительная функция f задана на множестве Х, а действительная функция g – на множестве . Тогда существует композиция отображений , которая является действительной функцией, заданной на множестве Х и называемой композицией действительных функций f и g или сложной функцией.
Заметим, что сложную функцию можно записать в виде цепочки функций . Переменную у в этом случае обычно называют промежуточной переменной. Заметим также, что термин «сложная функция» характеризует не сложность функции, а способ ее задания. Например, функция или - сложная функция, а тождественная ей функция уже не является сложной.
Пример 1. Если , то , .
Может получиться так, что множество не является подмножеством множества Y. В этом случае сложная функция определена лишь для тех х, для которых .
Пример 2. Пусть . Тогда . Здесь задана на множестве задана на и . Сложная функция рассматривается для х таких, что , то есть .
Пример 3. Функции и не определяют функции , так как определена для , а для всех .
Пример 4. (Решить самостоятельно). Пусть и . Найти следующие функции и указать их области определения: .