Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

§ 8. Отображение множеств. Обратное отображение.
Композиция отображений. Понятие действительной функции

Понятие отображения множеств играет важную роль во всех областях математики.

Определение 1. Пусть Х и Y – некоторые множества и . Если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент , то говорят, что задано отображение из Х в Y с областью задания А.
Отображения обычно обозначают малыми латинскими буквами .
Пример 1. Пусть Х – множество натуральных чисел, . Каждому числу поставим в соответствие остаток от его деления на 2: . Получим отображение из Х в множество действительных чисел R, при котором каждому соответствует либо 0, либо 1.
Множество Х называют также множеством отправления, а множество Y – множеством прибытия.
Определение 2. Элемент , соответствующий элементу в отображении f, называется образом элемента х и обозначается . При этом сам элемент х называется прообразом элемента у. Если А – область задания при отображении f, то множество называют образом множества А при отображении f или областью значений отображения f.
Определение 3. Если область задания совпадает с областью отправления, т.е , то f называют отображением Х в Y обозначают . Если , то f называют отображением Х на Y.
Определение 4. Отображение называется обратимым, если разным элементам соответствуют различные элементы , т.е. для любых имеем .
Например, отображение с областью задания R не является обратимым, так как и , т.е. , хотя .
Определение 5. Обратимое отображение Х на Y называется взаимно однозначным отображением.
Введенные понятия проиллюстрируем рисунками.

f не является отображением
д)

Пусть f – обратимое отображение из Х в Y с областью задания А. Тогда каждому элементу соответствует один и только один элемент , причем разным элементам соответствуют различные элементы у. Поэтому определено отображение множества в Х (на А). Определено так, что .

Определение 6. Если отображение f из Х в Y обратимо, то отображение из Y в Х, определяемое соотношением , называется обратным к f .
Пусть теперь f – отображение Х в Y, а g – отображение Y в Z. Определим отображение Х в Z следующим образом: . Таким образом, , то есть . Такое отображение называется композицией отображений f и g и обозначается . Итак, для всех
.
Операция композиции отображений обладает следующими свойствами.

1. 
   Ассоциативность:
   

.
Действительно, если , то
и .

2. 
   Если отображения и обратимы, то и их композиции обратима, причем
   

.
Действительно, пусть и . В силу обратимости f . В силу обратимости g и, значит, отображение обратимо. Если , то , а , то есть , что и требовалось доказать.
Действительная функция есть частный случай отображения, когда множества X и Y являются числовыми множествами.
Определение 7. Пусть X – числовое множество. Отображение , сопоставляющее каждому числу число , называется действительной функцией, заданной на множестве Х. При этом х называется аргументом функции f, Х – областью ее определения, – значением функции. Множество называется множеством значений функции.
Определение 8. Если функция f ставит в соответствие каждому числу одно и то же значение а, то функцию f называют постоянной.
Из определения действительной функции следует, что для задания функции f надо задать ее область определения – множество Х и закон, по которому каждому числу ставится в соответствие число .
В зависимости от того, каким образом задается закон функциональной зависимости, различают несколько способов задания функции.