Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

3) ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе нет наименьшего числа.
В первых двух случаях говорят, что сечение производится рациональным числом r (которое является пограничным между классами А и ) или что сечение определяет рациональное число r. В примерах 1) и 2) таким числом была 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число . Мы как бы вставляем его между всеми числами а класса А и всеми числами класса вместо недостающего пограничного числа. В примере 3), как легко видеть, .
Заметим, что рациональное число r может определяться сечениями двух видов 1) и 2). Для определенности обычно считают, что рациональное число r определяет сечение, у которого r принадлежит верхнему классу .
Рациональные и иррациональные числа получили общее название действительных (или вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой R.
Рассмотрим теперь некоторые свойства множества R действительных чисел.
Определение 1. Два действительных числа и , определяемых соответственно сечениями и , считаются равными тогда и только тогда, когда эти сечения тождественны, т.е. .
Определение 2. Пусть и – действительные числа, определяемые сечениями и . Говорят, что , если класс А целиком содержит в себе класс В, не совпадая с ним (т.е. ). Говорят, что , если .
Лемма 1. Для любых двух действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений .