Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Очевидно, что полученное разбиение является сечением. Докажем, что в классе А нет наибольшего числа. Пусть а – любое положительное число класса А, т.е. . Покажем, что можно подобрать такое натуральное число n, что , так что и число .
Неравенство равносильно неравенствам . Последнее неравенство тем более будет выполнено, если n удовлетворяет неравенству , т.е. , для чего достаточно взять .
Итак, какое бы положительное число ни взять, в классе А найдется большее его число, т.е. в классе А нет наибольшего числа.
Аналогично доказывается, что в классе нет наименьшего числа (доказать дома самим студентам).
Ясно также, что не может существовать сечение, у которого одновременно в нижнем классе есть наибольшее число , а в верхнем классе – наименьшее число .
Действительно, предположим, напротив, что такое сечение существует. Положим . Ясно, что с – рациональное число, причем . Число с не может принадлежать классу А, так как , по предположению, наибольшее число в этом классе, и не может принадлежать классу , так как – наименьшее число в этом классе, т.е. с не принадлежит ни А, ни . А это противоречит первому свойству сечения. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых примерами 1), 2), 3):
1) в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе есть наименьшее число r;
2) в нижнем классе А есть наибольшее число r, а в верхнем классе нет наименьшего числа;