Математический анализ – это часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов

Доказательство. Пусть и определяются соответственно сечениями и . Ясно, что для множеств А и В имеет место одно и только одно из соотношений: 1) ; 2) 3) . Из этих соотношений и определений 1 и 2 вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.
Доказанное в лемме 1 свойство множества R действительных чисел называется его упорядоченностью по величине.
С помощью определения 2 легко доказать, что:
1) если , ;
2) если , (доказать дома студентам самим).
Лемма 2. Каковы бы ни были два различных действительных числа и , всегда найдется такое действительное (и даже, в частности, рациональное) число r , которое содержится между ними.
Доказательство. Пусть и определяются сечениями и соответственно и для определенности . Тогда и, значит, в А найдется рациональное число r, не принадлежащее В, т.е. . Поэтому (равенство возможно, если – рациональное ). Но так как в А нет наибольшего числа, то в случае необходимости r можно увеличить, чтобы равенство исключить, т.е. получить неравенство . Лемма доказана.
Определение 3. Упорядоченное множество называется плотным, если между любыми его элементами лежит третий элемент этого множества.
Из леммы 2 и определения 3 следует, что множество R действительных чисел – плотное. Более того, доказано, что между любыми двумя действительными числами лежит рациональное число. Это свойство множества R называется усиленной плотностью множества действительных чисел.
Замечание. С помощью леммы 2 легко показать, что между любыми двумя различными действительными числами лежит бесконечно много действительных и, в частности, рациональных, чисел.