И здан и е второе, стереотипное

§ 4. Сферические функции и их свойства
Полное изложение теории и применений сферических 
функций можно найти в книгах В. И. Смирнова [17], т. Ш; 
Е. В. Гобсона [3]; Н. Я- Виленкина [1]. Здесь мы приведем 
определение и (без доказательств) простейшие свойства сфе­
рических функций.
Рассмотрим 
/л-мерное евклидово 
пространство точек 
с координатами 
х х,
. . . ,
хт
и в нем однородные полиномы 
степени я, удовлетворяющие уравнению Лапласа; -здесь я — лю­
бое целое неотрицательное число. Такие полиномы, очевидно, 
гармоничны в любой области. Гармонические однородные поли­
номы нетрудно построить: для этого достаточно взять одно­
родный полином данной степени л с произвольными коэффи­
циентами, составить его оператор Лапласа и последний при­
равнять нулю. Это дает нам некоторые соотношения между 
коэффициентами; полиномы, коэффициенты которых удовлет­
воряют этим соотношениям, и будут гармоническими.
Для примера рассмотрим случай трех независимых пере­
менных 
x v
x s, 
х 3.
Очевидно, любой полином нулевой или 
первой степени — гармонический. Однородный полином вто­
рой степени в общем случае имеет вид
з
^
1
QjkXjXk, 
djh
=
akj.
/ .*= i
Его оператор Лапласа равен 2 (аи 
4“ азз)- Приравняв

---

его нулю, получим
а33 — — (а11 4~ 
aii)-
Это дает нам общую форму гармонического полинома второй 
степени с тремя независимыми переменными:
ап
(•*] —
х 'з)
4
“
ап
С*а —
x l)
-J- 
2aux tx i
-f~ 
2a13x tx 3
-j- 
2агзх^х3.
Последняя формула, между прочим, показывает, что среди 
упомянутых полиномов имеется пять линейно независимых. 
Это, например, полиномы
х*
— Лз> 
* ! — •*«> 
X iXi, 
x tx 3,
а д .
Существует 
2п-\- I
линейно независимых однородных гармо­
нических полиномов степени я с тремя независимыми пере­
менными. В общем случае 
т
независимых переменных число 
линейно независимых однородных гармонических полиномов 
степени 
п
равно
(1)
Величину (1) будем далее обозначать через 
т .
В случае 
т — 2,
я^> О существует только два линейно 
независимых однородных гармонических полинома степени 
п, 
а именно полиномы Re 
(zn)
и Im 
(zn),
где 
z = Xi-\-lxt.
От декартовых координат 
х\, x t,
. . . ,
х т
перейдем к сфе­
рическим координатам р, ft,, 
. . . , вт „а, 
по формулам
X! = р cos &„
= р sin 
8
, cos
...................... 
(
2
)
х т
i = p sin 
sin 
sin &m_«COS
x m — v
sin 
8
, sin 
___ sin &m_8sin 
bm v
Сферические координаты меняются в пределах 
0 * S p < ^ o o ; 
0 гС 
=£:it, 
k ^ m
— 2; 
0 s
g
л
2rc.
Если p = l, то получаем точку единичной сферы; такая точка
вполне определяется угловыми координатами &1( 
....... * W ,.
Обратно, задание угловых координат вполне определяет точ­
ку на единичной сфере.
Пусть 
Р п т (х)
— однородный гармонический полином сте­
пени 
п
от переменных 
Xi, х*
. . . ,
х т .
Заменим последние

---

по формулам (
1
). Так как данный полином — однородный 
степени 
п,
то он примет вид
Рп.т { х ) = ? пУп.п т
(3)
Здесь через 0 обозначена точка единичной сферы с угловыми 
координатами 
0
Д, 
, 
0
Ш
Функция 
Yn$
m (9) называется 
т-мерной сферической функ­
цией порядка п.
В дальнейшем размерность 
т
пространства 
будет оставаться фиксированной и мы будем опускать слово 
«/и-мерная» в названии сферической функции.
Перечислим важнейшие свойства сферических функций. 
Одни из этих свойств очевидны, другие требуют доказа­
тельств, которых мы не приводим.
1
. Сферические функции суть полиномы от синусов и ко­
синусов угловых координат.
2- П. 
т
(®) = COnst.
3. Сферические функции различных порядков ортогональ­
ны на единичной сфере:
5 
Уп.т
(б) 
Уп'.т
(
6
) 
dSt
=
0
, 
П ф п’.
(4)
St
4. Если 
п Ф
0, то существует 
k„t т
линейно независимых 
сферических функций данного порядка 
а.
Будем обозначать 
эзи функции через 
(9), 
k — l,
2, . . . ,
k 
.
Для едино-
Л| 
' 
п, тп
образия обозначений будем считать, что 
kQ m—
1
, и будем 
писать 
Y£>m (0
) вместо К0>
т (
6
).
5. При данном 
п
можно функции ^ „ ( 9 ) подвергнуть 
процессу оргогонализации. Будем, считать, что ортогонализа- 
ция выполнена. Тогда система функций'
« =
V
2
, . . . ,
k —
1
, 
2
........
kn m
ортонормирована по единичной сфере S,:
<6> 
(в) 
dsl
= Г
’ * *
ИЛЙ * * * ;
(5) 
\ \ , n = t i
и 
k — k.
6
. Система сферических функций (5) полна в 
Отсюда 
следует, что любая функция, определенная почти всюду на 
единичной сфере 
и на ней квадратично суммируемая, мо­
жет быть разложена в ряд по сферическим функциям, и на 
сфере «9, этот ряд будет сходиться в среднем к данной функ­
ции. Если / (9 ) — данная функция, то ее разложение в ряд по

---

сферическим функциям имеет вид
оо kn, т