И здан и е второе, стереотипное

№
= 2
2
> ? ’ П*,„ д а
о т
О А =
1
где
Ч*> = 5 /( в ) И * )т ( в ) ^ 1. 
(7)
5,
7. Если tn — % то существуют дзе ортогональные сфериче­
ские функции порядка п^> 0. За такие функции можно при­
нять, например, cos 
и sin пЪ, где ft — полярный угол в дву­
мерной плоскости.
8
. Функции
yW
(
0
\
Р " П % ,( 0)- 
-р я = г ->
« ^ °
гармоничны: ггерпая — в любой конечной области, вторая — в 
любой области, не содержащей начала координат.
§ 5. Задачи Дирихле и Неймана, решаемые 
с помощью сферических функций
В настоящем параграфе мы будем строить формальные 
решения рассматриваемых задач в виде рядов по сферическим 
функциям. Слово «формальные» означает здесь, что мы не 
будем исследовать сходимость рядов,
Допустимость почленного дифферен­
цирования и предельного перехода и 
т. п. Если построенные ряды Сходятся 
и все выполнявшиеся над ними дей­
ствия законны, то формальное ре­
шение задачи и является ее решением.
1. 
З а д а ч а
Д и р и х л е д л я
ш а р а . Пусть требуется найти функ­
цию и(лг), гармоническую в шаре 
р = | jc | 
и совпадающую на сфере 
p = R с
заданной на этой сфере функ- 
. цией
— R величина р постоянна, и поло­
жение точки х  можно определить, задав только ее угловые 
координаты, иначе говоря, задав ту точку 
0
на единичной 
сфере, которая лежит на одном луче с точкой л; (рис. 
24). 
1 0
*
Рис. 24.

---

Э то позволяет нам рассматривать <р ( х ) как функцию точки в; 
мы будем писать поэтому ср (
0
) вместо <р ( х ) и будем записы­
вать краевое условие задачи Дирихле в виде
и|Р = я = <р(
0
). 
' 
(
1
)
Пусть функция <р(0) разлагается в ряд по сферическим функ­
циям: