И здан и е второе, стереотипное

Rn
0Rl (R2
0- т~ 2п — R2~ т -
2»),
отличен от нуля и коэффициенты Л^*', ВW можно определить, 
что приводит к решению задачи Дирихле.
В случае задачи Неймана краевые условия имеют вид
<,б)
Соотношение (2.7) гл. 
12
в данном случае означает, что 
функции фо(0) и 
(б) должны удовлетворять равенству
К ~ 1 $ Фо (9) dS, 
/ ? ? ~ 1 \ ф, (б) dS, = 0 
(1 7 )
■ Оез этого задача Неймана не имеет решения.

---

Функции ф0 (0) и 
4*1
(0) разложим в ряды по сферическим 
функциям:
оо 
*п, т
оэ 
* « ,
т
Фо( 6 ) = S 2 ^
П ^ т (е> 
(6) = S Е
П*’ т ( fl)- ( 18)
я = 0 fc = 1 
я — 0 /г = 1
Равенство (17) вместе с формулой (4.7) приводит к сле­
дующему соотношению между свободными членами рядов (18):
К Г - Ч Ч + К Г - - 1*.1.» = 0. 
(19)
Решение задачи будем искать в виде ряда (14). Примем 
д 
д
во внимание, что
д _ д 
и дч 
др
на внутренней сфере
р = «»
на внешней сфере. Продифференцировав
Р“ Я|
ряд (14) по нормали и сравнив полученные ряды с рядами 
(18), получим следующую систему уравнений:
—
n R n ~
4 -
п 
т
~ ?■ 
—
М*>,
^ О 
Я 
• 
п Я -}- Ш — t 
Л 
0 я
Ки
„ д а - м и _ n + w— £ В »» = ДО.
(20)
^ 1 
я 
-J- m — I 
я 
1 п‘
Определитель системы (20), равный
“
1 “
- 2 )
1 д 2 п + т - 2
__ ^ г л + т - 2 ^
(/? ./? !)"+ " -
отличен от нуля при п ^ О . Отсюда следует, что коэффи­
циенты 
и В ^] при « > 0 определяются единственным 
образом. При /г — 0 система (20) дает два значения для 
одной и той же величины В\}к
АП » 
Л
'11 
0 ( 1 ) ____ П Я — 1 
" ' 0
0 ( 1 ) ------ ------- D W - 1
10.
-----
Эти значения совпадают в силу соотношения (19). Коэффи­
циент Л*,1', как и следовало ожидать, остался произвольным.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить задачу Неймана для к р угов ого кольца.
2. Для кругового кольца /?0 < ] 
г\
< /?, реш ить смешанную задачу
ди

---

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ.
ДРУГИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ
В настоящей главе будет изложен метод решения задачи 
Дирихле, отличный от элементарных методов предшествующих 
глав. Новый метод опирается на решение задачи о минимуме 
квадратичного функционала, изложенное в гл. 5. Этот метод 
позволяет в довольно общих условиях решить задачу Дирихле 
для формально самосопряженного невырождающегося эллипти­
ческого уравнения, а также ряд других задач теории уравнений 
в частных производных.
Как было только что отмечено, вариационный метод дает 
довольно общие результаты; в то же время он накладывает 
на задачу существенные ограничения. Достаточно полно задача 
Дирихле решается только для конечной области. В случае 
неоднородного краевого условия граничную функцию прихо­
дится подчинять некоторому достаточно жесткому требова­
нию (см. ниже, § 
5
).
Вариационный метод будет использован и в последующих