И здан и е второе, стереотипное

« . = ^ 5 * ( » ) < ' » = 5
д
$
К
Ч
« Г
~ i
 
$
1
^
=
0
<8 >
О 
p—R 
p^R
в силу формулы (2.7) гл. 12; через 
dF
здесь обозначен эле­
мент длины окружности |,г| = /?: 
dT = RdB.
Теперь
СО
Ф (
0
) = ^ K cos 
п9
+ Р л sin я0)- 
( 9)
1
Имея в виду, что для круга р = | 
z \
=
R
- = — 
\ 
дч 
д? 
’
можно написать формальное решение задачи 
Неймана в

---

следующем виде:
СО
и(х,
^ ) = С - f 2]■ 
(“ » cos л0 + pn sin 
пЧ
(10)
С
— произвольная постоянная. Ряд (10) сходится и допускает 
почленное дифференцирование в замкнутом круге 
если, например, функция ф (
0
) удовлетворяет условиям, кото­
рые выше были наложены на функцию <р(
0
); кроме того, ко­
нечно, функция i|j(
0
) должна удовлетворять равенству (
8
). 
В этих условиях ряд (10) дает решение задачи Неймана для 
круга | z | < t f .
4. 
Если функция ф(0) удовлетворяет всем только что 
сформулированным условиям, то задача Неймана для внеш­
ности круга j 
z
| 
R
при том же краевом условии (7) ре­
шается формулой
где С — по-прежнему произвольная постоянная.
5. 
Ряд (10) нетрудно просуммировать. По формулам для 
коэффициентов Фурье
Подставим это в (10) и изменим порядок суммирования и 
интегрирования (доказать законность этого легко):
СО
и ( * . 
У ) —
С —
2
4 £ (a„cos»0 
+
M m
О1)
2* 
оо
U (x,
j ) = C -{- -i 
<К
«> )2
П ^ =г
C0S 
n(a> — e)du> =
О 
1
*2
jc
 
со
0
/
1=1
oo
u

---

Вспоминая, что
i ? =
taT=-<- 
" х
1'
п*=\
и что Re In х = In J х j, находим
2tt 
2к
u(x, y ) = С
^ In у <|i (u>) 
du> = С
-j- 
j In у ф (dm.
(
12
)
Формула 
(12) 
известна под названием 
формулы Дина. 
Аналогично суммируется и ряд (11).
§ 2. Задача Дирихле для кругового кольца
Пусть кольцо определено неравенствами /?o<
0 < C ^ i ;
р = | 
z
|. Значения граничной функции на окружностях р =
R 0 
и p = /?i обозначим соответственно через <р
0
(0) и
евые условия для искомой гармонической функции 
и(х, у )  
можно записать в виде
и 
= ср0 (6), 
и
|p=ff, = 9! (0). 
(1)
Гармоническая функция 
и(х, у )
есть вещественная часть 
некоторой аналитической функции / ( г )
и(х, у ) — R e f (г).
Кольцо — двусвязная область, и функция / (г ), вообще го­
воря, неголоморфна. Можно доказать, что
+ 
00
f (z ) — Clnz-\-
2 Сяг "
^ 
П=—СО
где 
С
— вещественная постоянная. Полагая 
Сп
== 
iB n, 
видим, что функцию 
и
(jc, 
у )
можно искать в форме
ОО
и 
(х,
_у) =
С
In р -4- 
Ай
-f- 2
{(А прп
-f- Л_пР-я) cos 
пв
+
П~\
+
{Вп Рл — В_пр-п) sin Я0}. 
(2)

---

Функции <р
0
(в) и ? i(® ) разложим в ряды Фурье. Пусть
СО
<Ро ( е) = Оо + 2 (ал cos 
я9
+
bn
sin лб),
/
1=1
(3)
ОО
Ь
(0) =
а0
+
2
(а* cos 
пв
+ Р* sin « е>-
Л
=1
Разложения (2) и (3) подставим в краевое условие (1) 
и приравняем коэффициенты при cos «0 и sin «0. Это при­
ведет нас к последовательности алгебраических систем вто­
рого порядка:
С
In R
q
-J- 
Af)
=a= 
Oq, 
С
In 
-}- 
Aq
ear ae;
AnRZ + A-nRo n — an> 
AnR* “ b A_nR~n =  a„; 
B n R t — B ^ R - ^ b v
B nR 4 - B _ nR r n — % .
Определители этих систем отличны от нуля, и можно 
определить все коэффициенты разложения (2). Тем самым 
формальное решение задачи построено. Обоснование этого 
решения мы предоставляем читателю.
Тот же метод позволяет решить для кругового кольца 
и задачу Неймана.
§ 3. Применение конформного преобразования
Пусть 
голоморфная 
функция 
z= zz(Q = x (l,
-f- 
ty
(Ei 
ц)
конформно преобразует область 
D
плоскости С 
в область 2 плоскости 
z.
Пусть, далее, 
и(х, у )
— функция, 
гармоническая в 
2
. Тогда функция й (Е, 
-ц) = и (х
(Е, 
ц), у
(Е, •»])) 
гармонична в 
D.
Для доказательства вычислим величину
А ~ 
д*и
| 
дгй
^ u = w + l h f
Имеем

---

И
дгй 
дги (дх\1
, 
0
д‘и дх ду
, 
д*а (ду\г
, 
dxa \dt)
" Г
~$хду Ж д£ ‘ д р Щ /
Т
■
да дгх
. 
ди д’у 
дх д¥
' 
ду д ?'
Аналогично
д‘й
__
д3и (д х у
, „
д3и дх^ду, д^и { ду\* . да_ сРх
, du_ 
(Ру_
drf 
дх* \(?т)/ 
дхду di] дц ' ду‘ [ду) 
>дх дц* ‘ ду drf '
Последние равенства сложим. Учтем при этом, что jc(E, т|) и 
_у($, т]) суть соответственно вещественная и мнимая части го­
ломорфной функции 
г
(С); поэтому 
х
и 
у
суть гармонические 
функции от 
\
и 
ц,
связанные уравнениями Коши — Римана. Спра­
ведливы, следовательно, соотношения
д х
__
ду 
д х
__ __
ду
&i\’ 
дц
<55 ’
Дс* = Д су = 0.
Теперь
М
= [ ( £ ) ■ + ( £ ) > . « = I * W А д
здесь
Л 
дги
, 
д‘и
Если 
Azu = 0
то, очевидно, Дсй = 0, что и требовалось до­
казать.
Коротко можно сказать, что конформное преобразование 
переводит гармоническую функцию в гармоническую. Оказы­
вается, что конформное преобразование переводит также за­
дачу Дирихле в задачу Дирихле и задачу Неймана в задачу 
Неймана.
Действительно, пусть в области 2 поставлена задача Ди­
рихле:
Ди = 0, 
« j r — =p(s). 
(1)
Здесь Г — контур области 2 и s — параметр, определяющий 
положение точки на Г.
Пусть функция 
z
("), реализующая конформное преобра­
зование области 
D
на область 2, непрерывна в замкнутой

---

области1) 
D — D \ JT V
где Г , — контур области 
D.
Конформ­
ное преобразование, как мы видели, не меняет уравнения 
Лапласа,' и преобразованная функция й удовлетворяет урав­
нению
Как известно, если преобразование конформно, то соот­
ветствие между контурами взаимно однозначно: тот же пара­
метр s может служить для определения положения точки 
на Г,, а в таком случае краевое условие (1) не меняется при 
конформном преобразовании, и мы имеем
Совокупность уравнений (
2
) и (3) показывает, что преобра­
зованная функция и есть решение задачи Дирихле в обла­
сти 
D.
Обратимся к задаче Неймана. Известно, например, что 
производная 
г '
(С) остается непрерывной на регулярных9) 
участках контура. По-прежнему 
преобразованная функция 
удовлетворяет уравнению (
2
); выясним, какому краевому 
условию она удовлетворяет.
П усть функция н (
х, у )
удовлетворяет условию задачи 
Неймана
Обозначим через Vi нормаль к контуру Г , в точке, соответ­
ствующей значению s параметра. При конформном отображе­
нии контур переходит в контур и, следовательно, направле­
ние касательной переходит в направление касательной; так 
как при этом углы сохраняются, то направление нормали v 
переходит в направление нормали 
Поясним последнее 
утверждение. Пусть 
z
и С — точки контуров Г и Гц соот­
ветствующие друг другу при конформном преобразовании. 
Если в области 2 провести нормаль v, пересекающую кон­
тур Г в точке 
z,
то при конформном преобразовании эта
(
2
)
и
I,, =
9
(s).
(
3
)
(4)
J) Для этого необходимо и достаточно, чтобы область 
D
была 
ограничена жорлановой кривой.
а) Определение регулярной границы см, стр. 263.

---

нормаль перейдет в кривую, которая в точке С касается нор­
мали Vj (рис. 23). На нормали v возьмем точку 
—
Рис. 23.
Пусть ей в области 
D
соответствует точка Ci = Si -}~ It- Обо­
значим Л = | 
z
— г, |, 
k
= | С — Ci |- Имеем
д
— —■
Н т “
(*i.J>i)_ lim й<*. т>)) — Д 
4i) 
к _
дй .. 
k
- -г~
lim 
г
-.
с* -»с А
Из конформности преобразования следует, что
к
1 
“ Л 
| ^' <4) | *
и окончательно
<5)
Если функция н удовлетворяет краевому условию (4), то 
преобразованная функция й удовлетворяет краевому условию 
ди
‘Ф (* Ж (С )| , 
(6)
т. е. опять-таки краевому условию задачи Неймана.
Решения задач Дирихле и Неймана для круга и кругового 
кольца нам известны — они построены в предшествующих 
параграфах. Из доказанного выше следует, что если нам из­
вестно конформное преобразование данной области на круг 
или на круговое кольцо, то для такой области мы можем 
написать решения задач Дирихле и Неймана. Перечислим не­
которые такие области.
1. 
Полуплоскость отображается на круг дробно-линейным 
преобразованием.

---

2. Внешность эллипса отображается на круг преобразо­
ванием вида (а и 
b
— постоянные)
z = a: + ±r .
(7)
3. Многоугольник отображается на круг с помощью ин­
теграла Кристоффеля — Шварца.
4. Область, ограниченная двумя окружностями, отобра­
жается на круговое кольцо с помощью дробно-линейного 
преобразования.
5. С помощью функции (7) можно отобразить кольцо 
между двумя софокусными эллипсами на круговое кольцо.
Число таких примеров можно увеличить.