И здан и е второе, стереотипное

§ 3. Решение задачи Дирихле для шара
Здесь и ниже в этой главе (за исключением § 7) мы бу­
дем рассматривать только однородное уравнение Лапласа —
неоднородное сводится к нему приемом, указанным в § 
6 
гл. 
11
; напомним, что этот прием основан на построении 
частного решения неоднородного уравнения Лапласа в виде 
объемного потенциала.
Итак, пусть дан шар Я/# радиуса 
R
с центром в начале 
координат. Поставим задачу об отыскании функции и ^ С ( Ш д ) ,
гармонической в шаре и удовлетворяющей краевому условию
где 
S
r
— граница шара и ср(лг) — функция, заданная и не­
прерывная на сфере 
S
r
.
Решать нашу задачу будем следующим образом. Предпо­
лагая, что решение существует и удовлетворяет некоторым 
более жестким требованиям, мы построим формулу, опреде­
ляющую решение по данным задачи. После этого мы дока­
жем, что построенная формула на самом деле дает решение 
задачи.
Пусть поставленная нами задача имеет решение 
и
(jc), при­
надлежащее классу C (
3
) (ZZ/R),
Напишем интегральное представление этого решения (фор­
мула (4.1) гл. 11)
п. 205.
Н ! ^ = 'Р(Х )>
(О
(
2
)
Возьмем точку 
х
внутри шара, и пусть 
х
' — точка, сим­
метричная с точкой 
х
относительно сферы 
S#
(рис. 21). Это

---

значит, что точки 
х
и 
х'
лежат на одном луче, проходящем 
через центр шара, и что
Заметим, что 
г' ф
0, когда точка Е движется внутри сферы 
или по ее поверхности. Введем функцию
она гармонична в любой области, не содержащей точки 
х'. 
В частности, функция (4) гармонична в шаре 
111%.
К 'п ар е функций 
и
и 
v
применим формулу Грина (6.10) 
гл. 10. Обе функции гармоничны, поэтому объемный интег-
того простого соображения, что треугольники 
0x1
и 
Ox't 
(рис. 
21
) подобны. Действительно, у этих треугольников угол 
в точке 
О
общий, а заключающие этот угол стороны про­
порциональны в силу соотношения (3). Из подобия треуголь­
ников следует, что
М -
1
* '
1
= я 9-