§ 1. Постановка задач
Будем рассматривать два типа областей:
конечные
и
бес
конечные.
В обоих случаях границу области будем предпола
гать конечной; как всегда, граница предполагается состоящей
из конечного числа кусочно гладких поверхностей (рис.
12
и 13). В последующих главах иногда — это будет каждый раз
особо оговариваться — будут рассматриваться так называемые
полубесконечные
области, границы которых бесконечны. Про
стейшим примером полубесконечной области является полу
пространство.
Краевая задача для эллиптического уравнения называется
внутренней,
если искомая функция должна быть определена
в конечной области, и
внешней,
если эта функция должна
быть определена в бесконечной области.
Важнейшими краевыми задачами для эллиптического урав
нения второго порядка являются
задача Дирихле
(первая
краевая задача) и
задача Неймана
(вторая краевая задача).
Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида
-
■
4
»
4
^
+
л
*
э%
+
л
> " =
Р
( д
: ) '
( , )
Внутреннюю задачу Дирихле
для этого уравнения сфор
мулируем следующим образом.
Пусть 2 — конечная область с кусочно гладкой границей
Г и <р(х)— функция, заданная и непрерывная на границе Г.
Требуется найти решение уравнения (1), которое принадле
жало бы классу
С{2)(Й) П
С (
2
) и совпадало бы на границе
с заданной функцией <р(л-):
и (х ) =
<р (х),
х
£ Г.
(2)
Внутреннюю задачу Неймана
для того же уравнения (1)
сформулируем таким образом.
Найти решение
и (х )
уравнения (
1
), обладающее свой
ствами: гг
£
С (4) (2 ) f] С (2 ); на множестве тех точек
х
£ Г ,
в которых существует нормаль v к поверхности Г, выпол
няется равенство
декартовы координаты этой точки, а ф (х) — функция, задан
ная на упомянутом множестве точек поверхности Г.
Краевое условие задачи Неймана мы будем ниже записы
вать короче в виде
Запись (3 i) можно понимать буквально, если « £ С (1) (2 ).
Если
A jk — bjk,
то старшие члены уравнения (1) образуют
оператор Лапласа; само уравнение принимает вид
Краевое условие (3i) принимает в этом случае особенно простую
форму:
З а м е ч а н и е . Приведенные выше формулировки краевых задач
Дирихле и Неймана не являются совершенно общими. Так, например,
можно рассматривать случай, когда в краевом условии (2) задачи
Дирихле функция <
р (х ) разрывна на Г. В этом случае нельзя требо
вать, чтобы u £ C ( Q ) , — это условие надо заменить некоторым
другим; краевое условие (2) должно выполняться только в точках
непрерывности функции <
р (х ). Можно также отказаться от требо
вания кусочной гладкости границы.
Внешние задачи
отличаются от соответствующих внутрен
них только тем, что на неизвестную функцию накладывается
добавочное требование
lim
AJk
( * ')
cos (v,
x k) —
<
J>
(x).
(3)
X ' - I - X
u * k
Здесь
x '
— точка, лежащая внутри 2 на нормали v,
х\
—
(3,)
- Д “ + Л * ^ + А,
t i= F (x ).
(4)
(5)
и
i x
) —
О ( р
^
р
^
т
) >
X
-
+
0 0
.
(
6
)
Do'stlaringiz bilan baham: |