И здан и е второе, стереотипное

§ 
ku dx = ^ F {x )d x = 0,
 
(
6
)
2
 
я
\ % d T = U ( x ) d T = 0.
 
(
7
)
Г 
г
С другой стороны, очевидно, что решение внутренней 
задачи Неймана для уравнения Лапласа (если оно существует) 
не единственно: если функция и(д:) решает задачу (
4
), то, как 
легко видеть, фуикция 
и(х)-\-С,
где С — произвольная постоян­
ная, решает ту же задачу. Теоремой единственности в данном 
случае является утверждение, по которому выражение и (х)-)-С 
исчерпывает все решения этой задачи.
Т е о р е м а
12.2.2. 
Два решения внутренней, задачи 
Неймана для уравнения Лапласа м огут о тл и ча ться только 
на постоянное слагаемое.
Докажем эту теорему, предполагая поверхность Г регу­
лярной.
Пусть задача (4) имеет два решения. Их разность t»(jc) 
удовлетворяет соотношениям
dv
Дг; = 0, 
-5- 
Crv - О -
(
8
)
К функции 
v
и области 2 (ft) (см. выше) применим фор­
мулу Грина (
6
.
8
) гл. 10:
[
£
[ d
7
S
d
x
=
l
v
%
d
r *
( 9 )
8
<л
>*=1
Гл
Функция 
v
непрерывна и, следовательно, ограничена в 2. 
В то же время величина ^
равномерно стремится к нулю. 
Переходя в соотношении (9) к пределу при /г 
0
, получим
\dxkj
а * = 
1
Отсюда 
—
0, 
k —
1
, 2
,
и, следовательно, 
v —
const.

---

З а м е ч а н и е 1. Если предположить, что искомое решение 
имеет в S непрерывные первые производные, то нетрудно дока­
зать теорему 12.2.2, предполагая поверхность Г только кусочно 
гладкой.
З а м е ч а н и е 2. Для 
т —
3 теорема 12.2.2 доказана в до­
вольно широких предположениях. См. В. И. Смирнов [17], т. IV,
Теорема единственности для внешней задачи Неймана бу­
дет доказана ниже, в § 7.