И здан и е второе, стереотипное

§ 10. Распространение на уравнения 
с переменными коэффициентами
Результаты настоящей главы в значительной степени можно 
распространить на эллиптические уравнения с переменными коэф­
фициентами. В данном параграфе мы не станем заниматься общим 
случаем, а приведем — во многих случаях без доказательства — 
основные факты, относящиеся к самосопряженному эллиптическому 
уравнению
Более полное изложение относящихся сюда вопросов дано в кни­
гах К. Миранда [10] и автора [11], указанных в списке литературы 
к данному разделу в конце книги.
Пусть Q— конечная область m-мерного евклидова пространства, 
ограниченная кусочно гладкой поверхностью Г. Примем, что 
Ajh
С (а’ (
0
), С £ С
(11
(S2) (в некоторых случаях эти условия можно 
было бы ослабить). Уравнение (1) мы считаем эллиптическим в 
Q —

---

это означает, что все характеристические числа матрицы 
А
(х) =
отличны от нуля и имеют один и тот же знак; 
мы примем, что они все положительны. Пусть 
l t (x
) — наименьшее 
характеристическое число матрицы 
А
(*); оно является корнем 
уравнения Det 
(А
(д:) — Х/)=0, у которого все коэффициенты суть 
непрерывные в Q функции от 
х,
причем старший коэффициент 
равен (— 1)т . Но тогда корни этого уравнения непрерывны в £2;
функция X, 
(х),
непрерывная и положительная в Q, имеет положи­
тельную нижнюю грань:
X, (*)Ss 
= const >
0
, 
у
х
£ Q. 
(
2
)
Как известно из теории квадратичных форм, для любых вещест­
венных чисел 
(г, ... , tm
справедливо неравенство
т
A]k(x)tltk^ \ l {x)
2
t%.
*=> I
Из неравенства (2) вытекает тогда важное соотношение
т
А}к (х) t)tk
Ss I** 2
V * € О. 
(3)
*=l
Будем рассматривать только те решения уравнения (1), которые 
принадлежат классу С 'а’ 
(Q).
I. 
П р и н ц и п м а к с и м у м а для уравнения (1) имеет место 
в такой ослабленной форме:
Т е о р е м а 11.10.1. 
Если С (х)
0
, 
то решение
уравнения
(
1
) 
не может иметь внутри области ни отрицатель­
ного минимума, ни положительного максимума. Если С
(а-) <с 0, 
V
х
€ 
то такое решение не может иметь внутри области ни 
положительного минимума, ни отрицательного максимума.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая минимума при 
С (х)
> 0 — остальные случаи рассматриваются аналогично. Пусть 
Й и пусть в точке 
х„£ Q
решение 
и (х)
уравне­
ния (
1
) имеет отрицательный минимум. Тогда в точке 
х0
ы < 0 >
д Г Г 0’
* =
1,2
.......
т
(4)
Соотношения (4) верны в любой системе координат. Повернем оси 
координат так, чтобы в точке 
х0
уравнение (1) стало каноническим. 
Тогда
Akk
(-*•<>) > 0; 
Ajk (x
0) = 0, 
j ф к.
(5)
Положив в уравнении (1) 
х = х0,
получим
т
\ R / X ^ X
q

---

Последнее равенство, однако, невозможно: в силу соотношений (4) 
и (5) первый член слева неположителен, а второй — строго отри­
цателен, так что вся левая часть отрицательна.
З а м е ч а н и е . Принцип максимума верен и для более обще­
го— несамосопряженного — уравнения эллиптического типа
- W ; { Af i ^ j + B k d7k + CU=S,°-'
Действительно, члены, содержащие коэффициенты В к, не влияют 
на проведенные выше рассуждения, потому что в точке минимума 
ди 
п
или максимума 
= 0 .
2. С и н г у л я р н о е р е ш е н и е . Пусть
а (х) = Л -1 (* ) = | а,к (х) !£ k
k Z ? -  
Рассмотрим функцию
Ф (*. S) =
j 
т —
2
(т
— 
2
) | 
| 
у т г щ
[<*ik
©
(X j
- Zj) 
(X k - l k)\
2 
, m > 2, 
(6)
где О ($) = Del A (£). При фиксированном 5 функция ф (л:, 5) удо­
влетворяет уравнению
— ' - 0-
дхь ) '
Функция (6) называется параметриксом уравнения (1). При 
т  = 2 параметрикс определяется формулой
<
\>
(х, 5) = ■
— —==== In [ajk (5) (X j— Zj) (xk — €*)1 
2 . 
(6,) 
2к у и
(« )
Сингулярным решением уравнения ( I ) называется функция 
v (х, 5), обладающая следующими свойствами:
1) функция v {х, $) представима в виде
»