И здан и е второе, стереотипное

R rm 
R
р'»-а |S,j J 
R r’m 
R
.p*-* ' ( )
SR 
SH
Умножим равенство (4) на 
9
(je,) и вычтем из формулы 
Пуассона (
2
)
р т - з  
I 
(• п*__ В *
« ( * ) — -J*=r <Р(*о) = -|s
7
j- 5 
--Rrm [
9
(«) — <Р (•*<>)]
dSR.
sя
Повторив дословно рассуждения § 3, получим 
Нш Г « ( х ) _ ^
1
(р(хв)] =
0
.
X
-♦ 
X
q
*- 
г 
J
Отсюда
I и (х ) — tp (jc0) | *££ | и ( * ) —
? (х 0)
| +
и равенство (3) доказано.
§ 6. Производные гармонической функции 
на бесконечности
Т е о р е м а
12
.
6
.
1
. 
П у с т ь и (х )
—
функция, гармониче­
ская в бесконечной области
2
с конечной границей
Г, 
и 
п у с т ь D ku
—
любая из производных порядка k о т функ­
ции и. Тогда для д о стато чн о больших
|дг| 
и м еет м есто 
неравенство
^ « К т т р т й г .
0
)
где Ck не зависит о т х.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для А =
1
; общий случай 
рассматривается аналогично.
Граница Г конечна, поэтому можно построить сферу 
S
r
столь большого радиуса 
R,
чтобы Г целиком лежала внутри 
этой сферы. Для функции 
и (х )
во внешности сферы 
S# 
справедлива формула Пуассона:
* {*) = Ж Т S 
Р= М -

---

Найдем какую-нибудь из первых производных, например, про- 
изводную по 
Х{.
да
1
f
d р* —
R* j о 
/о\
~ I S i l )  
^ дх, R r m 
i R' 
^
Sj?
Вычислим производную под знаком интеграла:
д р8 — Я 2_ _ 0 де 
1 
т  (р8 — R s) 
дг _ _  
dxt R r m 
P dxt ' R r m 
R r m+l 
' dx,
__ 2x, 
m (p2 — /?2) Xi — Si 
— 
Rp* 
Rrm+V
' 
r 
'
Пусть p достаточно велико, например, пусть р 
2
R.
Тогда 
r^ > р — R > y P > и мы получаем следующую оценку ядра 
интеграла (
2
):
| д р* — /?* | __ 2m+1 
. 2т +1т _ _  С,
I dxt 
R r m | ^ R fm~l " г R f m-i —  pm
-1
•
Теорема доказана.
Заметим, что для 
т — 2
можно получить оценку произ­
водных с порядком убывания на единицу более высоким, чем 
в формуле (
1
).
§ 
7,
Теорема единственности для внешней задачи 
Неймана
Т е о р е м а 12.7.1. 
В случае т ^ > 2 внешняя задача Ней­
мана для уравнения Лапласа им еет не более одного ре­
шения.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем в предположении, что гра­
ница рассматриваемой области регулярна.
Итак, пусть бесконечная область 2 имеет регулярную 
границу Г и пусть в этой области задача Неймана имеет два 
решения; их разность г>(х) удовлетворяет соотношениям
Дт> — 0, 
х £ 2 ; ц (х ) = 0 (| х | - т +2), 
х -> оо; 
(1)
=
0
. 
(
2
)
<74 |Г
Построим поверхность Г л, параллельную поверхности Г
и расположенную внутри 2 (рис. 22). Проведем сферу 
S r
с

---

центром в начале и радиусом 
R
столь большим, чтобы вся 
поверхность Г л оказалась внутри 
S
r
.
Обозначим через 2^> 
область, ограниченную поверхностями 
и 
S
r
,
и через 2# —
область, 
ограниченную 
поверхно­
стями Г и 
S
r
.
Область 2<*| 
конечна, 
причем 
г» ^ С(а) 
можно, следовательно, 
применить формулу Грина (
6
.
8
) гл. 10:
е(Л) ft=i
+
J 
v % dVh-\-
J 
v % dSR-
Гл 
S
r
Перейдя к пределу при 
h
-* 0 и приняв во внимание урав­
нения (
1
) и (
2
), придем к тождеству
т
]
1
<з >
А
=1
Пусть 
R
—>
■
оо. Соотношения (
1
) показывают, что функция 
v
гармонична в 2, и при достаточно больших 
R
l ® C * ) | | * | - J ? s '
С 
Далее, по неравенству (
6
.
1
)
: f ^ m
- 2
С
= const.
■ 
С,
= 
Р>т-
1 .
Ci = const,
и для правой части формулы (3) получается оценка
C C j | 
Sff
| 
СС,
| S j |
1
s
R m~
П о предположению 
m^> 2;
поэтому
m
а
д
R m~*

---

отсюда очевидным образом следует, что
4^- —
0
, 
v
=== const. 
д*ь
Вспоминая, что 
v
(jc) на бесконечности обращается в нуль, 
получаем zi(jt) = 0. Теорема доказана.
П усть 
т =
2. В § 
6
мы отмечали, что в этом частном 
случае первые производные убывают быстрее, чем в общем 
случае. Используя это обстоятельство, легко получим равен­
ство
v
= const.
Q
В то же время требование | 
v
(jc) | ^ п г ш
=1
дает лишь огра-
ниченность на бесконечности. Отсюда следует, что при 
т —
2 
единственность внешней задачи Неймана для уравнения Лап­
ласа имеет место лишь с точностью до постоянного слага­
емого.

---

ЭЛЕМ ЕНТАРНЫ Е РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ 
И НЕЙМАНА
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для круга
В
этом и ближайших параграфах будет рассмотрено одно­
родное уравнение Лапласа на двумерной плоскости. В отличие 
от обозначений, применяемых в остальной части книги, мы 
будем здесь обозначать декартовы координаты переменной 
точки через 
х
и 
у
или через Е и -rj; соответственно самые 
точки будут обозначаться символами (х, 
у
) или (Е, к)). Мы 
будем также пользоваться обозначениями 
z — x-\-ly,
С =
= Е -|- 
1ц,
где / =
V
— 1.
Хорошо известна связь между гармоническими и аналити­
ческими функциями: если 
f (z ) = u(x, 
У
) — функ­
ция, голоморфная в некоторой области, то ее вещественная 
часть 
и (х , у )
и мнимая часть 
v (x , у )
гармоничны в той же 
области. С другой стороны, если вещественная функция 
и (х, у )
гармонична в 
односвязной
области, то можно найти 
гармоническую в той же области функцию 
v (x , у )
(она на­
зывается 
сопряженной
с функцией 
и (х ,
_у)) так, чтобы сум­
ма и 
(х, у )
-J- 
iv
(дг, 
у )
была в указанной области голоморф­
ной функцией от 
z.
Если область многосвязна, то написан­
ная выше сумма будет, вообще говоря, многозначной.
Если и — натуральное число, то функция 
zn
голоморфна 
в любой конечной области; если 
п
— целое отрицательное, то 
функция 
zn
голоморфна в любой области, не содержащей 
начала. Отсюда следует, что полиномы
Re (
2
Л), 
1m (
z
n), 
п
^ О
(
1
)

---

гармоничны в любой конечной области, а рациональные дроби 
Re (г -"), 
Im (г""), 
1 
(2)
гармоничны в любой области, не содержащей начала.
Введем полярные координаты р и 0 с полюсом в начале. 
Тогда 
z — ре,в;
функции (
1
) и (
2
) принимают соответственно вид
pB cosn
0
, 
р" sin я
0
, 
0
 
(10
и
cos лв 
sin пв 
_ , 
/г.,ч
—
. 
рй • 
(20
1. 
Поставим задачу Дирихле для круга. Пусть требуется 
найти функцию и(дг, 
у),
гармоническую в круге |г|< С /? и 
совпадающую на окружности этого круга с заданной непре­
рывной функцией ер(
0
):
и\
 р = я = ?р-(0). 
( 3 )
Допустим, что функция ср (0) разлагается в ряд Фурье, 
сходящийся при всех 0. Пусть
СО
<Р (6) == а0 + S
C0S л8 + bn Sin я9)' 
( 4)
а—
1
Легко написать формальное решение нашей задачи:
00 
п
и (X , у ) —  ( ЯП cos « б ~ Ьbn sin Я0)- 
( 5)
Л
-=1
Ряд (5) сходится в круге |^1< CR и его сумма в этом круге 
гармонична (докажите!). Если в этом ряде допустим почлен­
ный переход к пределу при р -> 
R,
то
00
“ С*» 
У)
|р=я =
+ 2
cos 
л0
+
sin пб) —
f
Л—I
и формула (5) действительно решает задачу.
По. известной теореме Абеля такой предельный переход 
допустим при тех значениях 0, при которых ряд (5) сходится. 
Этот ряд сходится к ср (0) при всех 0, если, например, <р (0) 2тс-пери- 
одична, абсолютно непрерывна и имеет производную
(^Z.g(0, 2тг). Для такого рода граничных функций ряд (5) 
действительно решает задачу Дирихле.

---

Просуммируем ряд (5). По известным формулам для коэф­
фициентов Фурье
2ге 
2к
а0 =
^
^
хр (ю) 
dm, 
ап
—
~
^ <р (ш) cos лш 
dw,
о 
о
2it
bn — -~
^ <р (а>) sin Яш 
dm.
о
Подставив это в ряд (5), получим
2« 
Г
оо
Чх, У) = ^
jj <Р(“ ) 1 + 2 2 J
COS«((0 — 6)
/
1—1
du>.
Мы переставили здесь порядок суммирования и интегриро­
вания; законность этого при р < [/? нетрудно доказать. 
Имеем р
eli — z.
Положим еще /?ei(a = C. Тогда
се»
2
j£ c o s fl(w — fl) = R e
2
£ = R e £ = l
я
«=1
 
n=l
И
2т:
“ (*• ^ = i
\
c p M R e ^ r f u ^ R e ^ J  
о 
|сыг
Эта формула известна под названием 
формулы Шварца. 
Далее,
R e ^ + - * - R e « + *>£-»> =
г = |С — г|»
С — г — д 
|С — z|a 
»■
и окончательно
2 «
“ (*■ 
(
6
)
о
Это — формула Пуассона для круга. Нетрудно видеть, что 
г
9
=
R*
-f- ра —
2Rp
cos (ш —
0
), и мы приходим к более обыч­
ной записи формулы Пуассона:

---

2
. Решение задачи Дирихле для внешности круга |z|^> /? 
при том же краевом условии (3) дается рядом
00
и
(дг, 
у ) =
а„ +
2
К cos 
л9
+
К
sin Лб). 
(б,)
Я=1
Ряд (5j) можно просуммировать и получить формулу П у­
ассона для внешности круга:
2lC
Н(х, 
У ) = ^
^ 

О
2те
2
л 
\ R2
+ р
2
—
2
/?р cos (<
*>
— 
6
) ^ ^
о
3. Задача Неймана для круга 
ПРИ краевом усло­
вии
t , U = h » )
т
решается так. Разложим ф(0) в ряд Фурье:
СО
ф (9) = а
0
-|- ^ (а„ cos и
0
-(- 
sin 
пв).
П—\
Но если решение и (
х, у )
существует, то