И здан и е второе, стереотипное

(
3
)
Обозначим
г — \х
—
61
, 
г'
= | 
хг
— Е |.
г»(Е)
(4)
х ,
рал исчезает, и мы получаем
Для дальнейшего важно то 
обстоятельство, 
что 
первые 
члены под интегралами (
2
) и 
(5) отличаются только множи­
телем, не зависящим от Е. Это 
можно доказать на основании
Рис. 21.
Г 
X
г' 
R ’
Отсюда

---

рт
1
/ 
R
У » - ?
1
™-a ”
\ U t /
г - "- *
1
1
t R \т ~я
так что ---- и 
—==7
отличаются множителем f т——т} 
, неза-
г т - я
r 'm J
\| 
X
|/
висящим от S.
Будем далее обозначать [ 
х
| = р, 
\х'\ = рг.
Умножим формулу (5) на
1
(
/? \т ~»
( т — 2) |S , | \ р )
и вычтем из формулы (3):
■ w - p = W r W ( f
SR
Замечая, что в силу краевого условия задачи Дирихле
получаем формулу для решения (в предположении, что оно су­
ществует и принадлежит классу С (а) (///#)):
д 
(6)
Формулу (
6
) можно упростить. Прежде всего, для шара 
направления внешней нормали и радиуса совпадают, поэтому
cos ( г
х к) — ^
и
А — I* А
R dzk ’
Отметим еще формулы
дг 
th — хи 
дг‘ 
^ —
dtk 
г
’ 
д(ь 
г■
’
здесь 
х к
и 
х ’к
— координаты точек 
х
и 
х!
соответственно

---

Легко вычислить второй член под знаком интеграла (
6
):
d 
1 __ ___
( т __ оч ^
1 
дг
__
дч r m~* 
*• 
’ R гт ~1 ~ЖЦ —
- - 7
^ - 2
^ & - * * ) = - ^
(Я
9
-
****)• (7)
Аналогично
£ - i r =
- ^ V - w
>
.
/ 
d
 \ m-s
Умножим это выражение на ( — ) 
; учитывая ранее полу-
D 
1
ченное соотношение 
- p - = y t
получаем
( Н у - д 
1 
т — 2/ ,
, 
, р* \
( р )
дч г,т ~* 
r mR  ( Р 
кХк R ‘ ) *
Точки 
х
и 
х '
лежат на одном луче, проходящем через на­
чало, поэтому
. | * |
, р‘ 
, р*
X k
== 
Х ь
— п == 
Х к
— Х ь ш
R
| * |
рр 
R
и, следовательно,
<8 >
Подставив выражения (7) и (
8
) в интеграл (
6
), получим окон­
чательно
" м = щ
<9>
SR
Формула (9) называется 
формулой Пуассона,
а выраже­
ние
n a
__0s
f>rm
i 
P^ R >
—
ядром Пуассона.
И з наших рассуждений следует, что формула Пуассона 
во всяком случае 
справедлива для любой гармонической 
функции класса 
C w
(ZZT^).

---

Отметим некоторые свойства ядра Пуассона.
1. Ядро Пуассона неотрицательно. При 
р 
—
R
оно всюду 
равно нулю, кроме точки 
х — Ь,
вблизи которой оно неогра- 
ничено.
2. Если точка 
х
меняется внутри шара, то ядро Пуас­
сона есть гармоническая функция от 
х.
Докажем это. Если точка 
х
лежит внутри шара, то г ^ О 
и ядро Пуассона имеет непрерывные производные всех по­
рядков. Остается доказать, что оно удовлетворяет однород­
ному уравнению Лапласа. По формуле Лейбница
д*
я * _ р 2 _ 1 
—
о2) 
,
дх% 
гт
гт
дх% 
'
п д ( П ° - 9*) д (  1 \ , 
9 
о. д* / 1 \
+ 2 
дхч 
d7k \ 7 ^ ) + ( R
р ) дх% [ г " ) '
Замечая, что
dp _ x k 
дг _ _ х к — Чк
- дхк 
р ’ 
дхк 
г 
'
и суммируя по 
k,
получим
А 
=
%
[ -
1
+
Т* №
+ Ра ”
>
что равно нулю, так как 
г* = (5 — х, 5 — х )
= R*
+ р9 —
2 
(?, х )
= R*
+ ра — 2х„\н.
3. Справедлива формула
TSTT 
Ц 
Яг™ diS * = l '
( 10^
SR
В самом деле, будем искать функцию, гармоническую в 
шаре и принимающую на границе значение 1. В силу тео­
ремы единственности решение этой задачи Дирихле всюду 
будет равно 1. Очевидно, что 1 £
(Ш # ),
и для нее спра­
ведлива формула Пуассона, которая в данном случае совпа­
дает с формулой (
10
).
Докажем теперь, что 
если функция
<р 
(х ) непрерывна на 
сфере Sr, т о формула Пуассона д ает гармоническую в 
LUr функцию, которая имеет в любой то чке х 0 сферы S# 
предельное значение
ср(х0).

---

Пусть 
и (х )
— функция точки 
х,
определенная внутри 
шара 
Ш ц
формулой Пуассона (9). Очевидно, что эта функ­
ция непрерывна и имеет производные всех порядков внутри 
шара. Легко видеть, что , она гармоническая:
Л" = TsTT 
\ V ^
Ллг 
RRr™ dsS K = 0 '
SR
Пусть точка 
х
стремится изнутри сферы 
S R
к точке 
х 0, 
лежащей на этой сфере. Из формулы (9) вычтем формулу (10), 
предварительно умноженную на <р(х0):
и (jc) — <р (лг0) =
jj [у (5) — ср ( * „ ) ] - f r , / d^Sn. (11) 
SK
Функция ср(дг) непрерывна на сфере 
S #
выберем на 
S# 
сферическую окрестность а точки 
х0
столь малую, чтобы
! ? ( * ) — f W K y s .
v ^ G ° >
где е — произвольно выбранное положительное число. Заме­
тим, что в 5 я \ о
|5 — лг
0
| ^
8
,
где 
8
— радиус окрестности о.
Оценим разность 
и (х )
— |р (х с), для чего интеграл (11) 
разобьем на два: по а и по 
5
^ \ о
и ( * ) - <Р (*о) =
J
[? (?) - 9 С*о)] ^ S R +
О
+ 1^1 
\ 
—
SR \o
Для первого интеграла имеем
^ - [ ? Ш - ? ( х « ) ] ^
15»
<
^ 2 I 
I 3 
R rm
S i I 
) R rm dtS
e
R = J .
SR
Мы получили оценку для первого интеграла независимо 
от положения точки 
х.
Второй интеграл можно сделать ма­

---

лым за счет близости точек 
х
и 
x Q.
Возьмем эти точки столь 
близкими, чтобы выполнялось неравенство 
'\х
— х
01
<^&/
2
. 
Тогда
Г = | Е —
*1
= 1(5 — х 0) + (-*» —
х ) \ ^
8 
— xt \ — \x9 — х \^ -
2
,
откуда
Теперь
д
» -
р
* 
(/?4-
р
) (/?-!»)
Rrm 
Rrm
\
jm 
•
Функция ср непрерывна на замкнутом множестве и потому 
ограничена. Пусть |
Теперь имеем
/ м ^ *
1
2
m+® 
М (R
— р) 
1
f 
| 
и
(дг) 
ср (дг0) I <
2
 
ьт
|S, | 
j
\ «
. е 
2
""*-3
MRm~l (R
— р)
< 2" ”Г
jm
Возьмем число 
h^>
0 столь малым, чтобы 
2m+s 
MRm~lh ^
е
Тогда 
если 
J лг„ — лс|< [А, 
то 
/? — р = | х 0 | 
1
Jf | ^
|ха 
—
JC | <
ft и 1
1
» (лг) 
—
<р (лг„)! <
е . 
Отсюда следует, что
Нш 
и (х ) =
(р (х 0), 
V
S
r
-
( 12)
х
-♦ 
Хо
Функцию 
и(х),
определенную в открытом шаре формулой 
Пуассона (9), доопределим на сфере 
S R,
положив и (х ) = <р (.*)> 
jc £
Sjf.
Доопределенная таким онбразом функция гармонична 
внутри шара, непрерывна, в силу формулы (
12
), в замкнутом 
шаре и удовлетворяет краевому условию (4). Задача Дирихле 
для шара решена.
Формула (2), а с ней и все доказательство, требует, чтобы 
т ^ >
2. Однако формула Пуассона верна и для 
т
= 2. В этом 
случае формулу можно получить, исходя из интегрального 
представления (4.2). Другой вывод формулы Пуассона для 
т — 2
будет дан в § 
1
гл. 13,

---

§ 4. Теорема Лиувилля
Т е о р е м а 12.4.1 ( т е о р е м а Л и у в и л л я ) .
Функция, 
гармоническая в любой конечной области и ограниченная 
сверху или снизу, есть постоянная.
Если функция 
и
(ж) гармоническая и 
и
(jc) ^
М, М —
const, 
то —
и (х )
также гармоническая и —
и (х
) ^ —
М .
Следова­
тельно, достаточно рассмотреть случай, когда гармониче­
ская 
функция ограничена снизу: 
и
(х ) ^
т
= const. Можно 
считать, что 
т
0
, — если это не так, то можно прибавить 
к 
и (х
) достаточно большую положительную 
постоянную.
Зафиксируем произвольную точку 
х
и опишем вокруг 
начала шар 
LU
r
столь большого радиуса 
R,
чтобы точка 
х  
оказалась внутри шара. Данная функция 
it(x),
гармоническая 
в любой конечной области, гармонична и в шаре, и для нее 
верна формула Пуассона
“ м = т а $ т Р £!" <Е)‘У '''
SR
где 5/? — граница шара.
Легко видеть, что 
R
— р 
г 
-f- р, и так как функция 
k (jc) положительна, то получается следующая оценка:
/ ? ( # +
р)т ~х
г§ л ^
11
^
^ 11
(АГ) ^
ij?
fsTi 
S 
“
$R
П о теореме о среднем
и
( 0 )
| S i | 
R m~l
jj и (^) 
d S jp  
* 
$R
и 
неравенство (
1
) принимает вид
Устремляя 
R
к бесконечности, приходим к неравенству 
и
(
0
) 
и (х )
^
и
(
0
).
Отсюда 
и (х ) — и(0).
Теорема доказана.

---

§ 5. З а д а ч а Дирихле для внешности сферы
П усть 2 — внешность шара радиуса 
R
с границей 
S
r
и пусть требуется найти функцию 
и(х),
гармоническую в 
2 
и удовлетворяющую краевому условию
“ !$* = ?(■*)■ 
С1)
Докажем, что решение этой задачи дается 
формулой П уас­
сона
“ (л г)= г^гт § р 
Лг*~
?
d(.SR>
р >
R>
где, как и в § 3, г = | ? —
х\
и р = | дг |.
Как и в § 3, доказывается, что функция 
и (х ),
опреде­
ляемая формулой (
2
), имеет вне сферы 
S R
непрерывные 
производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лап­
ласа. Исследуем поведение этой функции на бесконечности. 
Очевидно, 
r ^ p
—
R.
Отсюда
rfeS=-.; 
C==\S7TR
S
SR
Нас интересуют большие значения р. Будем поэтому считать,
что 
p^>2R.
Тогда R < C y P и Р — Я > у Р - Теперь
I 
^
2
т с
! и
(-*0
I ^
пт ~з ’
и функция м(лг) гармонична вне шара.
Остается доказать предельное равенство
li ш и (л;) = ср (лг0), 
V *o (Е 
( 3)
X -* Х0
Для этого вычислим интеграл (2) при значении ср (£ )= 1 .
Введем в рассмотрение точку 
х',
симметричную с точкой 
х  
относительно сферы 
S
r
.
Имеем (р = | 
х
|, р' = | 
х '
|, г' =
= \ 1 - х '\ )
, 
/?* 
1 
I 
R 
9 ~
р'* ’ 
г — г ' '
р ’
и ядро Пуассона можно преобразовать к виду 
Р» — /У 
Ra — ?'*
R rm
P
m~3
R r'm

---

Точка 
х ’
лежит внутри сферы 
S#,
и по формуле (ЗЛО)
* с 
1
е *
3
-е
'9
j? — кт~г
I Si | J