И здан и е второе, стереотипное

(х, S) = ф {х, 5) + (х, 5), 
(7)
где при л: — £
-к 
(X ,
5) = О (л*+2- т ), 
&
=
О
( r '+ '- m ) ,
(8)
дхк
■
 0 ( г х~т у, 
= const > 0 ;
dxj dxk
2) 
при фиксированном £, Ь ф х , функция v ( x , 5) удовлетворяет 
уравнению (I).
Доказательство существования сингулярного решения можно 
найти в уже упомянутой книге К. Миранда [10].
Существуют сингулярные решения уравнения (1), симметричные 
относительно х и 5 (см. К. Миранда [10]). Ниже, говоря о сингу­
лярном решении, мы предполагаем, что оно симметрично.

---

3, 
И н т е г р а л ь н о е п р е д с т а в л е н и е . Пусть 2' — внут­
ренняя подобласть области 2 и пусть граница Г ' этой под­
области кусочно гладкая. Пусть функция 
и
£ 
С1
(Q'). Используя 
сингулярное решение уравнения (
1
), можно построить интегральное 
представление, сходноё с представлением (3.4).
Пусть 
х
£ 
Q'.
Вырежем точку 
х
областью 
определенной 
неравенством
ajk
(•*) 
(х 1 ~ % ) (x k —
£*) < е';
ограничивающий эту область эллипсоид
aJk (х) (x j— ij) (xk — ik) —
e*
обозначим через Г,. Пусть о (лг, $)— симметричное сингулярное реше- 
^равнения (1). По формуле Грйна (
6
.
6
) гл. 10 получим, учтя,
ниб
что
^ 
vLu di
=. 
Ajk
(
6
) 
[ у щ — и щ !
cos (л 
Х]) d(T’
-f- 
' V ,
г' 
* 
*
+ $ А* (е) [ущ ~ и Ш C0S (л */> 
(9)
г
через 
L
обозначено дифференциальное выражение, стоящее в левой 
части уравнения (
1
).
Пусть с —* 0. При этом
J 
v
J
m
J v^u
U ' \ «
В '
^ 
VAjkd t
° 0S (N’ 
Xj) diV‘
°*
\ 
uAjkWb
C0S 
diT*
° ‘
г
Остается найти предел интеграла
■д_ 
дЬк
и
(£) 
Ajk
(
6
) 
cos (v, 
xj)
Г,. 
(
10
)
Сингулярное решение симметрично относительно 
х
и 5, поэтому 
можно писать 
v (х,
£) = ф (
5
, 
х)
-f- ipi (?> 
х)
и в интеграле (
10
) пони­
мать под 
выражение *)
т — 
2
ф = ф (с, лг) — ----- —
1
(лг) (
5
/ — 
х.)
(£* — л-*)] 
2
( т — 2) | S , | /£> (лг)1 
W W
кП
*) Как обычно, внутрн квадратной скобки выполнено суммиро­
вание по 
j
и 
к
от 
1
до 
т .

---

Теперь имеем
_ ________
1
____________
Qpk
(-у) (Ер — *р)
Я к  
| S , | V ^ 1 T )
"**
lOjt (x)(Zf — Xj)(ii — Xi
) } 2 
или, «ели воспользоваться уравнением эллипсоида Г „
М .  — ------ — арк (л) (хр — 5р),
и интеграл (10) принимает вид
1
s 
\t™ V b (x)
§ “
арк ^ А]к
(дг) (дГр ~ ?р) cos (v’ 
^ Г *' 
(11)
Интеграл (11) можно упростить. Прежде всего, матрицы А  и а —
взаимно обратные и симметричные, поэтому
Орк (х) А]к (х) = арк (х ) Ащ (х) — l pj, 
и интеграл (11) преобразуется к виду
1
^ и (5) (Xj — Zj) cos (v, х}) d%Г..
|S ,| « » / £ > (* ) r
•
Если u (£) заменить на и (x ), то последний интеграл изменится на 
величину/которая стремится к нулю при е —*0. Таким образом, 
предел интеграла (10) совпадает с пределом величины
(,г'
Г
«
Последний интеграл преобразуем по формуле Остроградского 
в объемный:
§ (■*)•— %) cos 
(V, 
хj) d(T, = ^ 
^ di — — т  ^ di = — т  | а, |.
Т ’ 
я
^
п
Вычислим величину | о, |.
Объем эллипсоида равен произведению объема единичной сферы 
и всех полуосей эллипсоида. Если X, (* ), X*(х), . . . , Xm (jr) суть 
характеристические числа матрицы А (*), то полуоси эллипсоида Г , 
суть е 
(х), k — \t 2
т.  Теперь
тп

---

величина (
12
) не зависит от е и равна 
— и (х),
и в результате пре­
дельного перехода в формуле (9) мы получаем следующее интеграль­
ное представление:
« W =
[ A,k
(?) 
cos 
^ *i>Ф - I vLu
* <13>
Г
2
'
Если 
и (х)
удовлетворяет уравнению (1), то 
Lu =
0, и получается 
интегральное представление для решений уравнения (
1
):
и (х) —
^ 
Ajk
(
6
) 
i v ^ — u
~ j cos (v, 
xj) d(T'.
(14)
Г '
4. 
Т е о р е м а о с р е д н е м . Пусть 
и
(
х)
£ C ,S) (2 ) — решение 
уравнения (1). В формуле (14) в качестве поверхности Г' возьмем 
поверхнос1Ь 
уровня функции 
v
(а-, 6), т. е. поверхность
v (х,
£ )= » „ = const.
Примем, что постоянная г
»0
достаточно велика и что точка 
х
фикси­
рована. Тогда
и 
(х) 
=
г>0 
^ 
А)к
(6) 
cos (ч, 
X j)d c F —
V*=V
q
— § « (5) 
А^
(£) 
щ
cos (л 
xj) d p .
V
= 
V
q
По формуле Остроградского *)
S 
Ajk Щ cos (t,X j)d iT’ =
J
$ 
C ® U(S)ai
V > v 0 
V > v t
Обозначая еще для краткости
— 
Ар 
щ
cos (v, 
xj) 
=
N (v), 
получаем формулу, аналогичную формуле теоремы о среднем:
и (х )=
J
u (Z )N (v) d^T' + v0
j C<
8
)«( S) «fc 
(15)
V = V0 
V^>Vo
Формула (15) верна для решений уравнения (1). Справедливо и 
обратное утверждение: если функция 
u f L„
(
2
), 
1
< р < о о , и удо­
влетворяет соотношению (15), то и ^ С‘*’ (ti) и эта функция удо­
влетворяет уравнению (1). Это утверждение будет установлено 
попутно при доказательстве теоремы следующего пункта.
*) Очевидно, внутри поверхности 
v = va
лежит область 
v > v 0■

---

Правая часть формулы (15) содержит поверхностный интеграл. 
Нетрудно построить формулу того же типа, содержащую только 
объемный интеграл. Пусть 
Ф ( р ) — бесконечно дифференцируемая 
функция вещественной переменной 
р, отличная от нуля только на 
интервале 0 < p < p i , где pt — достаточно малая положительная 
постоянная. Будем Считать, что расстояние г = \ х — 5| достаточно 
мало, тогда v (х, £) > 0. Положим
____ i _
____! _
р (х, 5) = [v (х, 5)1 
т ~ 2 , 
p0 = Vo т ~ 2 .
dpd.T'
Очевидно, р (л:, 5) — О (г) и tfS =
где Г ' есть поверхность 
v = const, а ч — внешняя к ней нормаль. Обе частя равенства (15) 
умножим на Ф (р0) 
V . - ; , -------
dp0 и проинтегрируем по р0 в преде-
V г
I
' р = Я о
лах (О, -f- оо)- Мы придем тогда к формуле вида
и (лг)= J K ( x ,Z ) u ( i) d Z , 
(16)
р < Р о
где К  (лг, £) — непрерывная функция точек л- и £, имеющая непре­
рывные первые и вторые производные по координатам точки х.
5. П о д п р о с т р а н с т в а р е ш е н и й .
Т е о р е м а 11.10.2. Множество решений уравнения (1), при­
надлежащих пересечению С 12’ (Q) f) Lp (Q), где Г С р  < оо, образует 
подпространство в Lp (Q). Сходимость в этом подпространстве 
влечет за собой равномерную сходимость как самих функций, т а к  
и их производных первого и второго порядка в любой замкнутой 
внутренней подобласти.
Пусть \ип (х )} — последовательность решений уравнения (1), 
принадлежащих пересечению ClSl (Q )[)L p (Q), и пусть эта последо­
вательность сходится в метрике L p (ii) к некоторой функции и (х). 
Возьмем внутреннюю подобласть Q' и выберем число р2 > 0 столь 
малым, чтобы область р (л-, €) <С р* лежала внутри 0^ каждый раз, 
когда 
Q*. Если pt 
р2. то для любой точки х £  2' и для любой 
из функций ип (х) верна формула (16)
«я (* ) =
\ К  (х , 5) ип (£) d t 
p
Положив здесь я —>
•
оо, найдем, что предельная функция и (х) 
также удовлетворяет соотношению (16). Так как ядро К {х, 5) имеет 
непрерывные вторые производные, то и £ С 12’ (Q')- Из соотноше­
ния (16) вытекает также, что в Q' функции м„ (л-) и их производ­
ные первого и второго порядка равномерно стремятся к функ­
ции а ( х )  и ее соответствующим производным.
Будучи решениями уравнения (1), функции ип (х) удовлетво­
ряют соотношению (15). Полагая я —*оо, найдем, что тому же соотно­
шению удовлетворяет и предельная функция и (х ). Пусть теперь
9-1567

---

в представлении (13) Г ' есть поверхность v — v„. Тогда из соотно­
шений (13) и (15) вытекает тождество для предельной функции
j
{v — v 0) Lu rfS = 0.
■o>xrl)
Так как v —
1
/0>
0
, то 
к
последнему интегралу можно применить 
интегральную теорему о среднем
(£“ )*= ,*' J
(v — v0)d x = 0,
»>»о
где л:1 — некоторая точка области v(x, 5)>г»0. Отсюда (L u )x ^ x, = 0.
Полагая 
w0— oo, 
получим 
(£а)(лг) = 0, 
что 
и 
требовалось 
доказать.
Совершенно так же доказывается теорема, аналогичная тео­
реме 11.10.2, в которой Lp (2) заменено на С (Q).

---

Г Л A B A 12
З А Д А Ч И Д И Р И Х Л Е И НЕЙМАНА