И здан и е второе, стереотипное

§ 7. 1 
еорема о среднем
Т е
о р е м а 11.7.1 ( п р я м а я т е о р е м а о с р е д н е м ) .
П устея— функция и (х ) гармонична в некотором шаре и не- 
npepus —н а в нем вплоть до границы. Тогда значение этой  
ф ункц ^ г и в центре шара равно среднему арифметическому 
ее зна
—'сений на сфере, ограничивающей данный шар.
Пр^=»жпр чем доказывать эту теорему, отметим одну фор­
мулу, 
f
—соторая будет играть важную роль и в последующем. 
Пусть 
в формуле (6.9) гл. 10 «(дг) — функция класса 
(£), 
гармон ^ и че ска я в 2. Тогда Дм = 0, правая часть упомянутой
—
L u — f{x ).
(16)
Ди) =
0
.
•) т л и хотя бы удовлетворяет одному из условий, указанных 
в 
сделав=-шом выше замечании.

---

формулы обращается в нуль, и мы получаем
(
1
)
г
Переходим к доказательству теоремы. Обозна1* им через 
Ш к
шар, о котором идет речь а формулировке 
теоремы, 
через jc
0
— его центр и через 
R
— радиус. Сферу, 
ограничи­
вающую шар 
, обозначим через 
S o .
Пусть е ш н .е
Ш ц>
— 
концентрический с 
Ш #
шар радиуса 
k < ^ R
и 
&к>
— сфера, 
ограничивающая шар 
Ш # .
Очевидно, и £
П о фор­
муле (4.1) 
и<х) =
~ ("от — 2) t S , I S 
~
U^ Л P ^ ) dS* ’’ 
LU
r
'-
(2)
sK.
Положим в формуле (2) 
х = х й.
Тогда r =
М ’.
Далее, 
нормаль v — внешняя по отношению к шару и » следова­
тельно, направлена по радиусу, поэтому
д
1 I 
д
1 I 
т
— 2
Ш Г т ~*
|,_*< 
д г 7 ^
Д ' т
- 1
•
Формула (2) принимает вид
и 
“
(и — 2)15,1/?""-* $ д-7 d S* ' + |S,f R""-* 5
“ d S * ’' 
Первый интеграл исчезает в силу формулы (1), и в 
результате
И (*о) = j 
J
udS#>-
Положим 
R ’
-> 
R.
В шаре 
LUR
функция 
и
н е г к рерывна, и 
можно перейти к пределу под знаком интеграла. Ок=_ончательно
11
(*0) ~
15
( j 
^ 
11 d S f{
(3)
SR
Правая часть формулы (3 ) и есть то, что называе'^втя средним 
арифметическим значений функции 
и
по сфере 
S
r
,
---- это част­
ное от деления интеграла названной функции по -^:фере 
S K
на 
площадь поверхности этой сферы. Прямая т е о р ^ е м а о сред­
нем доказана.

---

Т е о р е м а 11.7.2 ( о б р а т н а я т е о р е м а о с р е д н е м ) .
П у с т ь
2 —
конечная область пространства Е т и и
С (2). 
Если для любого шара, который целиком вм есте со своей 
границей принадлежит области
2
, 
функция и (х ) удовлет­
во ряет то ж д е ству
(3
), т о э т а функция гармонична
в 
2
.
Возьмем произвольную точку 
х
^
2
и опишем из этой 
точки шар 
Ш а
фиксированного радиуса 
а,
лежащий вместе 
со своей границей в 2 (рис. 18). Если г ^ а и 5 г есть сфера 
радиуса г с центром в 
jc
, 
то по 
условию теоремы верна формула
и ( * ) = -r m-i1| S i ! j «<*) 
dSr
(4)
П усть u»a ( | S — a- | ) = tue (r ) —
средняя 
функция 
с 
радиусом 
усреднения 
h — а.
Обе части ра­
венства (4) умножим на 
гт
(г ) 
dr
Рис. 18. 
и проинтегрируем по г в преде­
лах от нуля до 
а.
Слева получится выражение 
си{х),
где
а
с = \ rm-'u>a (r)d r.
По свойству 
3 
усредняющего 
ядра
о
(§ 
1
гл. 
1
) c = |.Si|_I, и мы получаем равенство
а
И 
( * ) =
И 
и ( £) 
“ а (Г ) 
dr dSr
= 5 и (?) се* (Г) 
d t
(
5
)
ша
Вне шара 
Ш а
усредняющее ядро ша (г ) = 0 , поэтому фор­
мулу (5 ) можно записать в виде
н{*)= = $a(e)(
6
)
2
Новая форма имеет то преимущество, что область интегри­
рования 
2
не зависит от выбора точки 
х.
Формула (5), а с ней и формула (
6
), верна для любой 
точки 
х
£
2
\
2
а, где 
2
С — пограничная полоса ширины 
а.
Усредняющее ядро имеет непрерывные производные всех 
порядков, функция н (?) непрерывна, поэтому подынтеграль­
ная функция в (
6
) имеет производные всех порядков но 
x v 
х г,
. . . .
х т ,
непрерывные по совокупности точек 
х
и i

---

В таком случае интеграл (
6
), т. е. функция 
и
(х), имеет в об­
ласти 
непрерывные производные всех порядков, что 
можно записать так: 
и
^
Cico)(Q \ Q a).
Но число 
а
можно 
взять, сколь угодно малым; поэтому 
и
^ С<с0) (
2
).
Теперь докажем, что Дгг = 0. В шаре 
Ш а,
описанном 
выше, напишем интегральное представление (3.4):
"<*> = 75Г=Т)Ш j
- 2 ) | S , | ^ рй=7дй<д. 
(7)
(т-
Напомним, что 
х
есть центр шара 
1Лц.
Рассмотрим второй член справа. По-прежнему
1 
д
1
т -
дч г т ~г 
дг гт -‘‘ г — а 
а т ~1
второй поверхностный интеграл равен
o'”-11 S, | 
\
что по формуле (4) равно к (лг). Теперь формула (7) дает
^
d S a -
Д«Л = 0.
Ша
По формуле (6.9) гл. 10
Y ^ d S a =  j Дu d l
а 
а
Собирая оба члена под знаком объемного интеграла, получим
J (^-7S=r)A«(6)rt = 0. 
(8)
а
Заметим, что в шаре 
1Ла г
= | ? —
х
| =< 
а;
поэтому
1
1
^ «

---

Далее, функция Д
и
непрерывна. К интегралу (
8
) применим 
интегральную теорему о среднем:
х?
— некоторая точка внутри шара 
Ш а.
Интеграл от отрицательной функции отличен от нуля; 
следовательно, Д м (У ) = 0. Устремим 
а
к нулю; тогда 
х'-*-х 
и, по непрерывности вторых производных, Ди(лг) = 0.