Гл. 20. Проблема выбора базиса
(в L2(G)), и что выполнение или невыполнение (20.11) зависит от выбора базиса. Следующее требование к базису (20.1) поэтому таково:
д) базис таков, что в случае метода Ритца выполняется (20. II)1).
Следуя этому введению, приведем некоторые критерии и подходы к построению базиса, обладающего свойствами а)—д) или по крайней мере некоторыми из них. Мы существенно используем результаты Михлина, особенно из его монографии [28]. См. также [5].
Напомним сначала некоторые классические примеры систем, полных в L2 (G). Уже в гл. 4 мы отметим систему простых полиномов: так, в L2 (а, Ь) полной является система
1, х, х2, х3, ... ; (20.12)
в L2 (G) полной является соответствующая система простых полиномов от N переменных; например, в плоскости (N = 2)—это система 2)
х, у, х2, ху, у2, ... . (20.13)
Однако системы типа (20.12), (20.13) неудобно брать в качестве базиса именно в тех случаях, которые представляют для нас наибольший интерес, а именно когда должны выполняться определенные (однородные) граничные условия. Причина заключается в том, что отдельные элементы таких систем не удовлетворяют этим условиям даже в простейшем случае. С другой стороны, в случае функций одной переменной нулевые граничные условия на концах интервала [а, b] удовлетворяются, например, функциями
Ф„(*) = sinW3T6(^a), п = 1,2,... (20.14)
(в частности, для интервала [0, я]—функциями
Ф„ (х) = sin пх, о=1, 2, ... ), (20.15)
причем, как известно, система (20.14) полна в Ь2(а, Ь). Аналогично, система
, . . тп (х,—а) . пл (х2 — с) . п п
ymn(x) = sm -£±а sin Kd_c т= 1,2, ... ,п = 1,2, ...,
(20.16)
удовлетворяющая нулевым граничным условиям на границе прямоугольника G = (a, b)x(c, d), полна в L2(G). (В частности, функции фт„ (х) = sin тх1 • sin пх2 удовлетворяют нулевым граничным условиям на границе квадрата (0, л)х(0, л).)
Подобные утверждения справедливы и в случае брусов в N- мерном пространстве (при /V > 2).
Остается выяснить, могут ли эти системы использоваться как полные в пространствах Н А.
Мы приводим здесь без доказательства (доказательство можно найти, например, в [28]) следующую теорему.
Теерема 20.1. Пусть (как обычно) А—положительно определенный оператор на линеале DA, плотном в гильбертовом пространстве Н. Если последовательность
Лф„ Лф2, ..., Лф„, ... (фх, ф2, ... € Da) (20.17) полна в Н, то последовательность
Фх, ф2, ..., ф„, ... (20.18)
полна в НА.
Таким образом, легко получить, что в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике G = (a, b)x(c, d),
—Аи = / в G, (20.19)
и = 0 на Г, (20.20)
система (20.16) полна в соответствующем пространстве ИА. Как будет показано в гл. 22, оператор А = — А на линеале DA (плотном в L2(G)) функций, принадлежащих С2 (G) и удовлетворяющих условиям (20.20), положительно определен на этом множестве. Очевидно, что все функции (20.16) принадлежат DA, далее,
А,о дш ( mV , ”2?l2 \ пп«гс(*1-а) . /ст(*,-с)
ЛФтп АЧтл \(6 —a)2 + (d — c)2 J b — a d — c ’
так что функции Лфтп отличаются от фт„ только (ненулевым) постоянным множителем и образуют в L2 (G) полную систему, так как система функций фтл полна. Согласно теореме 20.1, сртп составляют полную систему и в НА. Более того, эти функции ортогональны в НА и, значит, линейно независимы, так что они образуют базис в этом пространстве.
Это же справедливо и в общем Af-мерном случае. В частности, при N=1 функции (20.14) образуют базис для задачи
и(а) = 0, и(Ь) = 0. (20.22)
Другая возможность удовлетворить однородным нулевым граничным условиям, используя на этот раз полноту системы полиномов, заключается в следующем (для простоты рассмотрим слу
8*
Do'stlaringiz bilan baham: |