20. Проблема выбора базиса



Download 65,28 Kb.
Sana16.03.2022
Hajmi65,28 Kb.
#498648
Bog'liq
К.Ректорис.


L2(G)), и что выполнение или невыполнение (20.11) зависит от выбора базиса. Следующее требование к базису (20.1) поэтому таково:
д) базис таков, что в случае метода Ритца выполняется (20. II)1).
Следуя этому введению, приведем некоторые критерии и под­ходы к построению базиса, обладающего свойствами а)—д) или по крайней мере некоторыми из них. Мы существенно используем результаты Михлина, особенно из его монографии [28]. См. так­же [5].
Напомним сначала некоторые классические примеры систем, полных в L2 (G). Уже в гл. 4 мы отметим систему простых поли­номов: так, в L2 (а, Ь) полной является система
1, х, х2, х3, ... ; (20.12)
в L2 (G) полной является соответствующая система простых поли­номов от N переменных; например, в плоскости (N = 2)—это система 2)

  1. х, у, х2, ху, у2, ... . (20.13)

Однако системы типа (20.12), (20.13) неудобно брать в качест­ве базиса именно в тех случаях, которые представляют для нас наибольший интерес, а именно когда должны выполняться опре­деленные (однородные) граничные условия. Причина заключается в том, что отдельные элементы таких систем не удовлетворяют этим условиям даже в простейшем случае. С другой стороны, в случае функций одной переменной нулевые граничные условия на концах интервала [а, b] удовлетворяются, например, функциями
Ф„(*) = sinW3T6(^a), п = 1,2,... (20.14)
частности, для интервала [0, я]—функциями
Ф„ (х) = sin пх, о=1, 2, ... ), (20.15)
причем, как известно, система (20.14) полна в Ь2(а, Ь). Анало­гично, система
, . . тп (х,а) . пл (х2 — с) . п п
ymn(x) = sm -£±а sin Kd_c т= 1,2, ... ,п = 1,2, ...,
(20.16)
удовлетворяющая нулевым граничным условиям на границе пря­моугольника G = (a, b)x(c, d), полна в L2(G). (В частности, фун­кции фт(х) = sin тх1sin пх2 удовлетворяют нулевым граничным условиям на границе квадрата (0, л)х(0, л).)
Подобные утверждения справедливы и в случае брусов в N- мерном пространстве (при /V > 2).
Остается выяснить, могут ли эти системы использоваться как полные в пространствах Н А.
Мы приводим здесь без доказательства (доказательство можно найти, например, в [28]) следующую теорему.
Теерема 20.1. Пусть (как обычно) А—положительно опреде­ленный оператор на линеале DA, плотном в гильбертовом прост­ранстве Н. Если последовательность
Лф„ Лф2, ..., Лф„, ... (фх, ф2, ... € Da) (20.17) полна в Н, то последовательность
Фх, ф2, ..., ф„, ... (20.18)
полна в НА.
Таким образом, легко получить, что в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике G = (a, b)x(c, d),
Аи = / в G, (20.19)
и = 0 на Г, (20.20)
система (20.16) полна в соответствующем пространстве ИА. Как будет показано в гл. 22, оператор А = — А на линеале DA (плот­ном в L2(G)) функций, принадлежащих С2 (G) и удовлетворяющих условиям (20.20), положительно определен на этом множестве. Очевидно, что все функции (20.16) принадлежат DA, далее,
А,о дш ( mV , 2?l2 \ пп«гс(*1-а) . /ст(*,-с)
ЛФтп АЧтл \(6 —a)2 + (d — c)2 J b — a d — c
так что функции Лфтп отличаются от фттолько (ненулевым) постоянным множителем и образуют в L2 (G) полную систему, так как система функций фтл полна. Согласно теореме 20.1, сртп со­ставляют полную систему и в НА. Более того, эти функции орто­гональны в НА и, значит, линейно независимы, так что они обра­зуют базис в этом пространстве.
Это же справедливо и в общем Af-мерном случае. В частности, при N=1 функции (20.14) образуют базис для задачи

  • ы' = /, (20.21)

и(а) = 0, и(Ь) = 0. (20.22)
Другая возможность удовлетворить однородным нулевым гра­ничным условиям, используя на этот раз полноту системы поли­номов, заключается в следующем (для простоты рассмотрим слу­

1х) Заметим, что для некоторых методов, например метода наименьших квадратов, соотношение (20.11) является прямым следствием метода.

2) Напомним (см. гл. 4), что L2 (G) является сепарабельным: одно из счетных множеств, плотных в метрике этого пространства, образовано поли­

3номами (от N переменных) с рациональными коэффициентами Заметим, что это множество плотно во всех пространствах, встречающихся в книге (т. е. и в Яд, ив пространствах Wik) (G), которые будут введены в ч. IV). Таким об­разом, все эти пространства сепарабельны, что везде в дальнейшем будет ис­пользоваться.


8*




Download 65,28 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish