И здан и е второе, стереотипное

§ 8. Принцип максимума
Т е о р е м а 11.8.1. 
Если функция, гармоническая в ко­
нечной области, достигает максимума или минимума 
в ее внутренней точке, т о э т а функция постоянная.
Пусть гармоническая в конечной области Q функция 
и
(дг) 
достигает максимума в точке дг
0
G
Докажем, что и (х ) ~
=
и
(jt0). Построим шар 
LUR (x
0) радиуса 
R
и с центром 
в точке лг0, вместе с границей лежащий в 2; пусть 
S
r
—
ограничивающая его сфера. Прежде всего покажем, что 
м(Е) = и(дг0) на сфере 
S
r
.
Напишем формулу, выражающую 
теорему о среднем:
здесь через |5^| обозначена площадь поверхности сферы 
S
r
:
По условию теоремы н (? )^ н (д г 0), 
; 
S
r
.
П усть в неко­
торой точке V £
S
r
имеет место строгое неравенство 
< [h (jc 0). На сфере 
S r
функция 
и
непрерывна; поэтому на 
той же сфере в некоторой окрестности 
S '
точки 
будет 
выполнено неравенство 
и
(;) 
и
(jc0). Обозначая 
=
имеем
U (x0) =
и
(£) 
d SR;
\~R\f
О)

---

Но
S' 
S'
I u(k)dSR ^ u (x ,)
5 
dSfi,
S " 
S"
отсюда
11
(•*<>) u
C*o) | J
ds#
-{- J dS# J =
d
5
i ? = wW '
SH
что нелепо.
Итак, 
и (I)
=
и
(jc0), $ 
S
r
.
Заменяя 
R
произвольной 
меньшей величиной, убедимся, что последнее тождество спра­
ведливо во всем шаре 
Ш # (х 0):
и
(S) == 
и
(jc0), 
^ 
6
ш я
(*<>)■ 
(
2
)
Теперь докажем, что тождество (2) верно во всей обла­
сти 2. Возьмем произвольную точку 
х
£ 2 и соединим
точки 
Хц
и 
х
ломаной, целиком лежащей в S2 (рис. 19). 
П усть 
8
— наименьшее расстояние от точек ломаной до точек
границы Г области 2 и 
8
' = - j
8
. Любой шар радиуса 
8
'

---

с центром на ломаной лежит целиком, вместе со своей гра­
ницей, в области 
2
.
П усть 
Ш ь '{у )
означает шар радиуса 
8
' с центром в 
у. 
Внутри шара ZZ/S- (лг0) возьмем на ломаной точку 
x t
так,
чтобы было | 
X i —
дг0; 
у
8
', и построим 
шар 
ЯД- (xj). 
Внутри нового шара возьмем на ломаной точку 
x t
так, чтобы 
было [ 
X i
— JCt | 
-i- 
8
' и чтобы точка 
Ху
лежала между точ­
ками 
x t
и 
Продолжая этот процесс, легко убедимся, что 
конечным числом таких шаров можно покрыть всю ломаную. 
Пусть это будут шары 
Ш ? (х/\, j —
О, 1, 2, 
я. По 
построению, Jfy £ ZZ/{-(jcy_i), 
j —
1, 2, 
п.
Как показывает 
тождество (
2
), в шаре 
Шь>{х^)
функция и имеет постоянное 
значение, равное максимальному. Но тогда эта функция при­
нимает максимальное значение и в точке лтц и (jct) =
и
(лс0). 
По тому же тождеству (2) и (5) =
и
(* 0
= и (jc0),
Продолжая эти рассуждения, придем в конечном счете к тож­
деству
и
(Е) =
и
Оо), 
V
^ Ш Ъ’ {Х п).
Но 
х
£
LUi' (х п),
поэтому 
и (х ) = и (х 0),
что и требовалось 
доказать.
Случай минимума сводится к случаю максимума заменой 
и
на —
и.
С л е д с т в и е
11
.
8
.
1
. 
Гарм онтеская функция, отличная 
о т тождественной постоянной, не д остигает в конечной 
области ни максимума, ни минимума.
С л е д с т в и е
11
.
8
.
2
. 
Если функция
н (х ) 
гармонична 
в конечной области
2
и, кроме того, и £ С (Щ , т о и
(
jc
)
принимает как наибольшее, т а к и наименьшее значение 
на границе области.
Следствие 
11
.
8.2
называется 
принципом максимума для 
гармонических функций.
§ 9. О сходимости последовательностей 
гармонических функций
Т е о р е м а
11.9.1 
( т е о р е м а
Х а р н а к а ) .
Пусть 
{ « „ (
jc
) }
—
последовательность 
функций, 
гармонических 
в конечной области
2
с кусочно гладкой границей
Г. 
П у с т ь еще функции ип(х ) непрерывны в зам кн утой

---

области
Й = 2 ^ ) Г .
Если последовательность
{«„(лг)} 
рав­
номерно сходится на
Г, 
т о
1
) 
последовательность {и„ (х)\ равномерно сходится 
в зам кнутой области
2
;
2
) 
предельная функция гармонична
я_
2
;
3) 
в любой зам кнутой подобласти
2
' 
области
2
про­
изводные любого порядка от. функции ип
(лг) 
равномерно 
сх од ятся к соответствую щ им производным предельной 
функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Последовательность 
{ип
(jc)} схо­
дится на Г равномерно. Это значит, что для любого е 
О 
найдется такой номер 
N,
что при всех я ^
N
и любом нату­
ральном 
р
имеет место неравенство
I «я+р (■*) — “я О )! < £>
V * 6 г- 
(О
Под знаком абсолютной величины написана разность двух 
гармонических функций; следовательно, она сама гармонична. 
Более того, она непрерывна в S3. Но такая функция прини­
мает как наименьшее, так и наибольшее значение на границе 
области.
Из неравенства (1) следует, что
— е < rnin 
[и
(5) —
ип
(&)] < шах 
[и
(5) —
ип
(£)] < 6,
а из принципа максимума для любого 
х
2
вытекает нера­
венство
roin 
\ип_^р
(?) 
ип
(?)]^Sw„+p (лг) 
ип
(х ) -sS шах [Кд+р (?) 
Мп
(?)]• 
б е г
* 
И
Но тогда 
_
— e < Kn+p(^) — «/.(■*)<*» 
V x £ Q ,
ИДИ
I 
и п+р
(-*) — «Я ( * ) I < е, 
V
x ( z Q -
Последнее 
неравенство 
означает, что последовательность 
{мяС*)} 
равномерно сходится в замкнутой области 
й. 
Суще­
ствует, следовательно, предельная функция
н ( х ) = lim 
ип(х),
(
2
)
п-+ со
определенная и непрерывная в 
0
.

---

Пусть 
х
£ 2. Построим шар 
Ш # (х )
с центром в точке 
х  
и радиусом 
R
столь малым, чтобы шар 
Ш ц
вместе со своей 
границей — сферой 
S
R — целиком лежал внутри 2. По пря­
мой теореме о среднем
«„ ( * ) = § «Я (&) 
dSR.
(3)
R SR
.П у с т ь _я-»-оо. Так как последовательность {« л (х )} схо­
дится в 
2
равномерно, то можно перейти к пределу под 
знаком интеграла:
н (х )= |- ^ - | ^ н(£)<й. 
(4)
SR
В силу обратной теоремы о среднем функция 
и (х )
гар­
монична в 
2
.
Остается доказать равномерную сходимость производных. 
Рассмотрим произвольную внутреннюю подобласть 
2
' обла­
сти 
2
и обозначим наименьшее расстояние между границами 
областей 2 и 2 ' через 2
а.
Воспользуемся формулой (7.6); 
применим ее к функции м„ (х), предполагая, что 
х
£
2
':
М - * )= $«/>(*) М О Л . 
(5)
«
Дифференцируя это выражение по координатам точки 
х, 
получаем
дкип
__ Г 
дк«>а
(г)
дх* 'дх1*
••• 
дх*тт
f и "
т
*
4
*
( 6 )
| 
dxt дх2 ■■■дхт”
Здесь 
k
— любое натуральное число и 
-f- 
k%
—[—. . . —
km — k. 
Аналогично
дки 
С 
дк<ла
(г)
_______________ __ Г ц Г;) 
0*»аО
дх^дх** ...дхк™
J
д х ',д х \ ..д х % п
d t
(7)
Последовательность {« „ (S)} сходится равномерно в 2 к функ­
ции 
и
(?), а функция
дки>
а
(г)

---

непрерывна при любых £ и лг. В таком случае интеграл в (
6
) 
равномерно стремится к интегралу (7) и, следовательно,
дки п (х)
__ ; 
дки (х)
д \ д х
к
; ... 
dxfr
»-*•“
дх*дх? ...d x fr
равномерно в S '. Теорема доказана.
Т е о р е м а 11.9.2 ( т е о р е м а о с х о д и м о с т и в с р е д ­
н ем ). 
П у с т ь
2 —
конечная область с кусочно гладкой 
границей
Г. 
П у с т ь {ип
(лг)} —
последовательность гармони­
ческих в
2
функций, сходящаяся в метрике L P(Q), где 
1<С/, < С °°- 
Тогда:
1) 
предельная функция гармонична в
2;
2
) 
в любой внутренней подобласти как данная последо­
вательность, т а к и последовательности, полученные из 
нее дифференцированием, сходятся равномерно.
По условию теоремы существует предел
и
(х ) = lim 
ип
(лг)
п —> со
в смысле сходимости в среднем с показателем 
р.
Это зна­
чит, что 
и
£
Lp
(2 ) и
$ | и ( ? ) - и „ (*)!'< «--- ►о.
g 
п
-*00
Воспользуемся формулой (5). Имеем 
М * ) =
I ип
(0
“ а 
(г)
1 
X £
S '.
'“ *(■*)—
5
«Л (5) 
(г) cf£, 
е
Вычтя и затем применив неравенство Гельдера, найдем
1
I
При фиксированном радиусе усреднения 
а
функция “
0
(г) 
ограничена. Далее, по условий теоремы первый интеграл 
в (
8
) справа стремится к нулю. А тогда из неравенства (
8
) еле-

---

дует, что последовательность 
\ип
(jc )} 
сходится 
равномерно 
в 2'. Отсюда следует, что 
в 
2 ' функция 
и (х )
непрерывна; 
так как 
2 ' 
— произвольная внутренняя подобласть, 
то и (jc) 
непрерывна в открытой области 
2
.
В формуле (3) положим я ->• оо, что приведет нас к фор­
муле (4); как и выше, отсюда можно заключить, что функ­
ция 
и (х )
гармонична в 2. Утверждение о сходимости 
производных последовательности {« „(л ;)} доказывается так же, 
как в теореме 11.9.1.
Из теорем настоящего параграфа вытекают такие след­
ствия:
С л е д с т в и е
11.9.1. 
П у с т ь
2 —
конечная область 
с кусочно гладкой границей. В пространстве С (Щ гармо­
нические функции образуют подпространство. И з сходи­
м ости в э то м подпространстве в ы т е к а е т равномерная 
сходимость производных любого порядка в любой вну­
тренней зам кнутой подобласти.
С л е д с т в и е
11.9.2. 
П у с т ь
2 —
конечная область 
с кусочно гладкой границей и постоянная р заключена 
в пределах 1<^р<^оо. В пространстве L P (Q ) гармони­
ческие функции образуют подпространство. И з сходи­
м ости в э т о м подпространстве в ы т е к а е т равномерная 
сходимость как самих функций, т а к и их производных 
любого порядка в любой внутренней зам кн утой подобласти.