И здан и е второе, стереотипное

§ 
у Щ й х
фД

в' 
а>
в последней формуле вместо 
Q'
можно ставить Q, так как 
<
j>
(х ) ~
0
, если 
х
£
2
\
2
':
§ ф Дер dx = ? <
р Дф d*.
а 
а
Заменив справа <р ее выражением (1), получим
J ф Дер 
dx
= ^ | J р (?) 
~
<й| Дф (х) 
d x
.
Справа изменим порядок интегрирования; одновременно по­
меняем местами обозначения 
х
и 
5
:
j
ф Лер^ = J P ( * ) j j j
^ $ - d ^ d x =
— — (m — 2)\S1\^p(x)ty(x)dx. 
2
Перенося все члены в левую часть, получим
$ 
1Д<Р 
(* ) 
+ ( « —
2) 15, 
| р 
(лг)] dx
= 0. 
(10)
В области 2 ' возьмем произвольную точку дг
0
и положим
Ф (■#)-= “ л ( I 
(
11
)
где шЛ 
усредняющее ядро; радиус усреднения 
h
возьмем 
меньшим, чем расстояние от точки л-„ до границы Г . Фор­
мула (
10
) дает тогда
АП (х»)
- f
( т
—
2
) 
1
5, | Рл (лг0) =
0
.
Полагая h —► 0, получаем
А ? (* о ) +
{ т
—
2
) | 
| р (лг0) =
0
.

---

Таким образом, уравнение (5) установлено для точек подоб­
ласти 2'. Но эта подобласть произвольная, поэтому уравне­
ние (5 ) верно во всей области 2.
Ввиду большой важности уравнения (5) дадим еще один 
его вывод.
Формулу (
6
) продифференцируем по 
х к:
=
* * К Г - <12>
Точку 
х
вырежем шаром достаточно малого радиуса е с цент­
ром в точке 
х
(обозначения см. рис. 14, стр. 227). Тогда
щ = —
Hm 
J
+
a
\ u it
^ Р (^) ^
Jm=i
cos ( V| 
х к) ^fp'
Интегрирование по частям дает 
\а \ ш.
—
\
Р (I) 
щ
p iU c° s ( v- 
X»)
^ . J • ( 13)
Нужно отметить, что в формулах для — р суммирование по
охк
значку 
k
не производится; этот значок фиксирован.
Рассмотрим второй интеграл в формуле (13). Положим 
£ 
е
0
. Если 
то 
Нормаль к S , в данном
случае направлена против радиуса, следовательно,
COS (v, 
X k J—
— cos (r, 
.
Далее,
д
1 
dikrma
т
— 
2
dr
r
m_1
dt-ь
dS,
— em 
l dSt
(m
—
2
) (£fe — 
xk)
cm

---

240 
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 
[Гл. II 
Теперь
]
= (то - 2) | р (X + ев) 
dSi
=
= (от — 2) ^ р (Jf -f - е
0
) cos
9
(v, 
x&) dSt.
Последнее равенство показывает, что при е->0 второй ин­
теграл справа в (13) имеет предел, равный
(то — 2) р (х ) jj cos® 
(f, x k) dS
y.
Очевидно теперь, что и первый член справа в (13) имеет 
предел, и формуле (13) можно придать вид
в \ ш
— (то — 2)р(лг)$ cos
* (r ,x k)d Si.
(14)
Si
Суммирование по 
k
дает
Д? = _
( т —
2 )|S ,|p (x ),
что совпадает с уравнением (
5
).
З а м е ч а н и е . Теорема 
1
1.6.3 доказана здесь в предположении, 
что плотность р £ 
С'
’ (
2
). На самом же деле эта теорема и, в 
частности, уравнение (5) имеют место при более слабых ограниче­
ниях. Приведем без доказательства_относящиеся сюда результаты.
1. 
Пусть в замкнутой области £ плотность р (.*) удовлетворяет 
условию Липшица с положительным показателем 
а
|р(£) — р(лг)|^Л г*; 
А
= const, а = const, 0 < a e g l .
Тогда в открытой области S существуют вторые производные по­
тенциала (
1
), которые можно вычислить по формуле
.
L 
(■»>■ (15)
• 
\
В любой внутренней подобласти эти производные удовлетворяют 
условию Липшица с тем же показателем а, если 
а
<
1
и с любым 
меньшим показателем, если « =
1
.

---

2 _ 
Пусть плотность р £ 
Lp
(й), где 
р
— постоянная такая, что 
\<.р
<оо. Тогда вторые производные объемного потенциала (1) 
сущесг=твуют как обобщенные; они суммируемы в 
2
с той же сте­
п ен ью » 
р
и могут быть вычислены по формуле (15). Входящий в эту 
форм^^лу предел существует в Q почти всюду.
3_ 
В обоих случаях объемный потенциал удовлетворяет неод- 
нород._яюму уравнению Лапласа (5); в случае 1 это уравнение вы­
п о л н я е т с я всюду, а в случае 2 — почти всюду в S.
Укгэавнение (5) позволяет строить частное решение неод- 
норо,сшного уравнения Лапласа и тем самым свести последнее 
к од|-жородному уравнению.
П ^ г с т ь нам дано неоднородное уравнение Лапласа
E i— о общее решение представляет собой сумму какого- 
либо 
частного решения и общего решения однородного урав­
нения 
Лапласа. Если предположить, что функция / (
х )
непре­
р ы в н е е дифференцируема') в замкнутой области 
0
, то част­
ное р ^еш ение уравнения (16) можно получить по формуле
Е с —л и сделать замену неизвестной функции в нашем урав­
нении 
по формуле и = и0-{-«\ то получится однородное 
уравн^^ние Лапласа