Голоморфная функция, а полиномы

Теорема 5 ([22]). Пусть _{ } – голоморфная функция, а полиномы _{ } и _{ }, _{ } связаны соотношениями

матрица _{ } состоит ииз многочленов. Рассмотрим циклы
_{   }
где все _{ }
Тогда справедливо равенство

где _{   } суммирование в формуле ведется по всем целочисленным неотрицательным матрицам _{ } с условиями, что сумма_{ } тогда _{ }.
Здесь _{   }.
Доказательство. Имеем



Поскольку система однородных многочленов _{ } имеет только один общий ноль – начало координат, то по теореме Гильберта о нулях (см. например [17]) существуют такие натуральные числа _{ } что

т.е в качестве функций _{ } можно взять мономы _{ }. По теореме Маколея (см. [18], а также [3]) эти числа _{ } можно выбрать с условием _{ }.
Используя формула (6), понятие функционала М и подставляя вместо – мономы _{ } в последних интегралах, получаем последнее равенство в теореме.
Отметим, что теорема 6 при _{ } верна без всяких дополнительных условий на систему многочленов _{ } кроме неврожденности.