|
(a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i,
(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i
z=a+bi kompleks sonlarda a-uning haqiqiy qismi deyiladi, b soni esa mavhum qism deyiladi.
Haqiqiy sonlar kompleks sonlarning xususiy holidir. Haqiqiy sonlar biror miqdori ifoda qilgani holda kompleks sonlar miqdorni ifoda qilmasa ham haqiqiy sonlar terminlarida tuzilgan masalalarni, masalan, o’tkazgichdan tok o’tishi, samolyot qanotining profili haqidagi va boshqa masalalarni yechishda ularda ishaltish foydali bo’ladi.
|
Tenglamaning ildizi
|
ko`rinishdagi algebraik tenglamaning ildizi x argumentning bu tenglamani ayniyatga aylantiruvchi son qiymatidir. N- darajali har qanday algebraik tenglama kompleks sonlar maydonida rosa n ta ildizga ega bo’ladi [bu fakt algebraning asosiy teoremasidan va Bezu etoremasidan kelib chiqadi]. Agar bunda n ta ildiz orasida m tasi o’zaro eng bo’lsa (1 u holda m ta teng ildizning har biri m ga karrali ildiz deyiladi.
F(x) =0 Tenglamaning ildizi uning yechimi ham deyiladi.
F(x) =0 Tenglamaning ildizi f(x) ko’pxad (funksiya)ning ildizi yoki noli ham deyiladi, bunda
|
|
Kub tenglama
|
Kub tenglama- quyidagi ko’rinishdagi tenglama:
Bunda -ixtiyoriy kompleks sonlar, lekin . Umumiy ko’rinishdagi Kub tenglama o’rniga qo’yish bilan
Ko’rinishga keltiriladi, bunda
So’nggi tenglama Kardano formulasibo’yicha yechilad. Shunday qilib, prinsip jihatidan qaraganda Kub tenglama idizlari tenglama keofitsiyentlari orqali oshkor holda ifodalanishi mukin. Lekin Kub tenglamaning uchala ildizi haqiqiy bo’lgan holda kompleks sonlardan kub ildiz chiqarish talab qilinadi, buni esa haqiqiy sonlardan kub ildiz chiqarishga keltirib bo’lmaydi.Amalda Kardono formulasi kam qo’llaniladi, chunki unda hisoblash juda murakkab. Shuning uchun Kub tenglamani yechishga taqrikkiy metodlar qo’llaniladi: Shtrum metodi, Nyuton metodi, Lobachevskiy metodi Kub tenglamaba’zan kubik tenglama deb ham ataladi.
|
|
Lemma
|
Lemma-bir yoki bir necha teoremani isbotlash uchun ishlatiladigan jumla.
|
|
Matematik logika
|
Matematik logika-matematik matematik isbotarni o’rganadigan fan. Matematik logikaning tekshirish obyektlari fikr(mulohazalar) bo’lib, ular ustida ham algebradagi sonlar ustida bajariladigan amallarga o’xshash amallar bajariladi. Matematik logika ba’zan matematika deb ham ataladi. Matematik logika electron hisob mashinalari nazariyasida qo’llaniladi.
|
|
Matritsa
|
Matritsa- ixtiyoriy tabiatli elementlardan tuzilgan to’gri burchakli jadval. Matritsa elementlari yo’llar(satrlar) va ustunlar bo’ylab joylashadi. Yo’l va ustunlar ko’pincha umumiy termin bilan “matritsaning qatorlari” deyiladi. Matritsa elementlari ko’pincha juft indekslar bilan blgilanadi, birinchi i indeks Matritsaning element turgan yo’li nomerini, ikkinchi j indeks esa Matritsaning element turgan ustuni nomerini bildiradi. Simvolik ravishda belgilashda matritsa odatda qavs ichiga yoki qo’shaloq vertikal chiziqlar ichiga olinadi:
Matritsalar qisqacha ( ) yoki || || ko’rinishda ham belgilanadi. Agar Matritsaelmentlari biror R xalqaning elementlari bo’lsa, bunday matritsa uchun har xil amallar aniqlanadi.
|
|
Ko’phad
|
Ko’pxad-P maydondagi n noma’lumli(Ko’pxad)- P maydondagi n noma’lumli birxadlardan istaganchasining yig’indisi. Ko’pxad hadlarini qo’shish tartibini xohlagancha almashtirish mumkin. Ko’pxadga nol keoffitsiyentli ixtiyoriy birhadlar qo’shish va bunday hadlarni Ko’pxaddan olib tashlash mumkin. P maydondagi n noma’lumli barcha Ko’pxadlar to’plami Ko’pxadlarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Ko’pxadning o’xshash hadlarini ixchamlash mumkin. Ko’pxadni kanonik tasvirlash mumkin. Ba’zan elementar matematikadaoxirgi amali qo’shish(yirish) bo’lgan algebraik ifoda Ko’pxad deyiladi, masalan, .
|
|
To’plam
|
To’plam-matematikaning muhim tushunchalaridan biri. Bu tushuncha aksiomatik holda kiritiladi va hech qanday elementar tushunchalar orqali ta’riflanishi mumkin emas. To’plam termini bunday tavsiflab tushuntirish mumkin: ixtiyoriy tabiatli ba’zi obyektlarning birlaashmasi, majmuyi, bunda obyektlar yoki narsalar To’plam elementlaridir. To’plam ixtiyoriy tabiatli elementlardan tuzilishi mumkin bo’lsa ham, har bir tayinli To’plam biror umumiy xossalarga ega bo’lgan elementlar birikmasini bildiradi. To’plam elementlarining bu umumiy xossalari har bir To’plamning nomidan bilinib turadi.asalan, butun sonlar To’plamda barcha elementlarr faqat butun sonlar bo’lib, bu xossa barcha elementlar uchun umumiydir. Bu xossaga ega bo’lgan barcha obyektlar bu holda To’plamdan iborat. Shunga o’xshash koinotdagi yulduzlar T. tekisligidagi nuqtalar T. barcha elementlari chekli To’plam bo’lgan T soni chekli elementlardan tuzilgan To’plam va boshqalarni tekshirish mumkin.
|
|
To’plamlar nazariyasi
|
To’plamlar nazariyasi-matematikaning bir bo’limi bo’lib, to’plamlarni ularning konkret tabiatiga bog’lamasdan o’rganadi. To’plamlar nazariyasi to’plamlarni o’zaro konkret bir qiymatli moslik, tartiblanganlik, to’plamlarni akslantirish kabi munosabatlar nuqtayi nazaridan tekshiradi. O’zaro bir qiymatli moslik tushunchasi tabiiy holda to’plamning quvvati, kardinal sonlar tushunchalariga olib keladi; tartiblanganlik munosabati tranfinit sonlar, so’ngra esa transfinitlar quyidagilar:
Ixtiyoriy “miqdordagi” to’plamlarning birlashmasi(yig’indisi kabi belgilanadi( bunda ). Va hech bo’lmganda bitta to’plamga tegishli bo’lgan barcha elementlar majmuyini bildiradi;
Har qanday to’plamlar majmuyining kesishmasi ( ) har bir to’plamga tegishli bo’lgan barcha elementlar to’plamini bildiradi. To’plamlar nazariyasi juda abstrakt nazariya bo’lgani holda ziddiyatlardan holi emas “ko’rinib turadigan ” qoidalardan- aksiomalardan voz kechishga to’g’ri keladi. To’plamlar nazariyasida ikki katta oqim bo’lib, ulardan biri Sermelo aksiomasini tan oladi, ikkinchisi esa inkor qiladi.
To’plamlar nazariyasi matematikada salmoqli o’rinni egallaydi. To’plamlar nazariyasi o’tgan asrning oxirida revolyutsiya yasadi. XX asrda To’plamlar nazariyasi g’oyalari matematikaga yanada singib bormoqda.
|
|
Aksiomalar sistemasining mustaqilligi
|
Aksiomalar sistemasining mustaqilligi-aksiomlar sistemasining zidsizligining asosiy talablaridan (shartlaridan, xossalaridan) biri { }i =1,2,3,...,n zidsiz aksiomalar sistemasining aksiomalridan hech biri o’sha sistemadagi boshqa aksiomlarning natijasi bo’lmasa, u holda aksiomalar sistemasi mustaqil sistema deb ataladi. Boshqacha aytganda Aksiomalar sistemasining mustaqilligi bu sistemaning aksiomalari sonining eng kam bo’lishiga keltiriladi. Aksiomalar sistemasining mustaqilligini isbotalsh har bir shu sistemaning qolgan barcha aksiomlariga bog’liq emas ekanligini isbotlashga keltriladi. akssiomlarning boshqa barcha aksiomalardan mustaqil ekanligini isbotlash esa aksioma unga qarama-qarshi bo’lgan aksioma bilan almashtirilganda barcha aksiomalar sistemasining zidsizligini isbotlashga keltiriladi. Masalan, to’g’ri chiziqlar parallelligi aksiomasini yevklid geometriyasidagi boshqa barcha aksiomalardan aksiomlardan mustaqailligini isbotlash lobachevskiy geometriyasining zidsizlgini isbotlashga keltiriladi.
|
|
Biror to’g’ri da’vo o’rinli bo’lishining zaruriy sharti
|
Biror to’g’ri da’vo o’rinli bo’lishining zaruriy sharti-amalga oshirilmaganda bu da’vo noto’g’ri bo’ladigan har qanday shart.
Masalan, butun sonning 4 ga bo’linishining zaruriy sharti uning raqamining 2 ga bo’linishidir, ya’ni berilgan butun son 4 ga bo’linishi uchn oxirgi raqamininh 2 ga bo’linishi majburiy(mnimal ) shartdir. Lekin bu zaruriy sharti hali yetarli bo’la olmaydi, ya’ni sonning oxirgi raqami juft bo’lib, ammo u 4 ga bo’linmasligi mumkin. Ko’p xonali butun sonning 4 ga bo’linishiningbyetarli sharti, masalan, uning oxirhi ikki raqami 28 bilan taomomlanishidir. Ammo bu yetarli shart zaruriy shart bo’la olmaydi, ya’ni sonning oxirgi ikki raqami 28 bilan tugamasa ham, u 4 ga bo’linishi mumkin. Butun N(N>0) sonining 4 ga bo’linishining zaruriy va yetarli sharti quyidagicha bo’ladi: berilgan sonning oxirgi ikki raqamidan tuzilgan son 4 ga bo’linsa, berilgan son 4 ga bo’linadi.
Zaruriy va yetarli shartlar zaruriyligi va yetarlilik alomatlari ham deyiladi. Agar to’g’ri va teskari teoremalar to’gri bo’lsa, u holda bu ikki o’zaro teskari teoremanin”zarur va yetarli ” terminlari yordamida bitta teorema tarzida ifodalash mumkin. Shunday qilib, zaruriylik sharti va yetarlilik sharti to’gri va teskari teoremalarga uzviy bog’liq. Zaruruiy va yetarli shartlar haqidagi tushuncha matematikadagi eng muhim tushunchalrdan biridir.
|
|
Tenglamalar sistemasining ziddiyatsizligi
|
Tenglamalar sistemasining ziddiyatsizligi-birgalikdagi tenglamalar sistemasi termining xuddi o’zi.
|
|
Aksiomlar sistemasining ziddiyatsizligi
|
Aksiomlar sistemasining ziddiyatsizligi-aksiomalar sistemasining eng muhim talablaridan(shartlari, xossalaridan) biri. Agar aksiomlar sistemasidan bir-birini istisno qiluvchi ikkita jumlani mantiqan keltirib chiqarish mumkin bo’lmasa, bunday aksiomalar sistemasi
|
|
Bir jinsli tenglama
|
Bir jinsli tenglama- ko’rinishidagi tenglama, bunda f –bir jinsli funksiya. Agar g funksiya o’zgaruvchilar bo’yicha bir jinsli bo’lsa, u holda g( )=0 tenglama o’zgaruvchilar bo’yicha Bir jinsli tenglama dayiladi.
Agar F funksiya o’zgaruvchilar bo’yicha bir jinsli bo’lsa, u holda n-tartibli F( )=0 differensial tenglama Bir jinsli tenglama deyiladi. Chiziqli Bir jinsli tenglama(chekli yoki defferensial) sistemasi doimo trivial(nol) yechimga ega.
|
|
Akslantirish
|
Akslantirish-matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Akslantirish to’plamlar mosligining biror qoida yoki qonunidir.Agar M to’plamning har bir elementiga n to’plamning biror elementi mos qo’yilgan bo’lsa, u holda M to’plamning N to’plamga akslantirishi berilgan deyiladi. Agar Akslantirishda N to’plamning har bir elementi M to’plamning biror elementi mos kelsa, u holda M ning N ga akslantirilishi berilgan deyiladi. Akslantirishning muhim xususiy holi o’zaro bir qiymatli moslik.
|
|
Teskari teorema
|
Teskari teorema- berilgan teoremaning sharti xulosa, xulosasi esa shart bo’lgan teorema. Berilgan teorema Teskari teoremaga nisbatan to’g’ri(boshlang’ich) teorema deyiladi. Teskari teoremaga teskari bo’lgan teorema berilgan teorema bo’ladi; shuning uchun to’g’ri va teskari teoremalar o’zaro teskari teoremalar deyiladi. Agar to’g’ri(berilgan) teorema o’rinli bo’lsa, Teskari teorema hamma vaqt ham o’rinli bo’lavermaydi. Masalan, to’rtburchak romb bo’lsa, uning diagonallari o’zaro perpendikulyar bo’ladi(to’g’ri teorema). Agar to’rtburchakda diagonallar o’zaro perpendikulyar bo’lsa, bu to’rtburchak romb bo’ladi deyish noto’gridir, ya’ni Teskari teorema noto’g’ri. O’zaro teskari teoremalar zaruriylik va yetarlilik shartlari orqali mustahkam bog’langan.
|
|
Qarama-qarshi teoremalar.
|
Qarama-qarshi teoremalar-ixtiyoriy bittasining sharti va xulosasi ikkinchisining sharti va xulosasining aksi bo’lgan ikki teorema. Qarama-qarshi teoremalar. O’zaro qarama- qarshi teoremalar deb ham ataladi.
|
|
Tenglik
|
Tenglik-= ishorasi bilan biriktirilgan ikki ifoda. Tenglik to’g’ri ham, noto’g’ri ham bo’lishi, sonlardan ham, harflardan ham iborat bo’lishi mumkin. To’g’ri Tenglikning xossalari:
Refleksivlik(A=A);
Simmetriklik, ya’ni o’zarolik, A=B, B=A
Trnzitivlik A=B, B=C, u holda A=C. To’g’ri Tenglikning xususiy hollari tenglama va ayniyatlardir.
Tenglikning boshqa bir ta’rifiga ko’ra, bu tushunchaga faqat to’g’ri Tengliklar kiritilib, noto’g’ri Tengliklar bu ta’rifga mutlaqo kiritilmaydi.
|
|
Teng kuchli tenglamalar
|
Teng kuchli tenglamalar-ayni bir ildizlarga ega bo’lgan(ildizlarining karraligini ham e’tiborga olib) tenglamalar. Masalan,
va |x|=2 tenglamalar teng kuchlidir, chunki ular ayni bir idizlarga ega: ;
tenglamalar ham teng kuchlidir;
tenglamar teng kuchli bo’la olmaydi, chunki birinchi tenglamaning ikkita ildizi bor: ikkinchisining faqat bitta ildizi bor:
tenglamalar teng kuchli emas, chunki bu tenglamalr ildizlarining to’plamlari bir xil emas;
lar teng kuchli emas, chunki ulardan birinchisi haqiqiy sonlar sohasida ikki ildizga ega:
, ikkinchisi esa faqat bitta ildizga ega;
tenglamalar teng kuchlidir, chunki ulardan har birining yechimlari to’plami bo’sh to’plamdir.
Teng kuchli tenglamalar to’g’risida masala bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalarni yechishdayoq paydo bo’ladi, bu masala irratsional tenglamalarni va eng sodda transendent: trigonometrik, ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni yechishda yana kengroq yoritiladi. Teng kuchli tenglamalar ekvivalent tenglamalar deb ham ataladi. Tenglamalar sistemasining teng kuchliligi ham huddi shunga o’xshash ta’riflanadi: agar tenglamalar sistemalarining yechimlarining yechimlari to’plamlari bir xil bo’lsa, bu sistemalar teng kuchli sistemalar deyiladi. Masalan, va tenglamalar sistemalari teng kuchlidir, chunki ular ayni bir yechim;arga ega :
.
Tenglamalar sistemasining teng kuchliligini bunday ta’riflash ham mimkin: agar brinchi tenglamaning (yoki sistemasining) har bir yechimi ikkinchi tenglamaning( yoki sistemaning) yechimi va aksincha bo’lsa, bu tenglamalar( yoki sistemalar) teng kuchli deyiladi.
|
|
Ko’pxadlarni ko’paytuvchilarga ajratish
|
Ko’pxadlarni ko’paytuvchilarga ajratish-ko’pxadni bir qancha ko’paytuvchining ko’paytmasiga ayniy almashtirish. O’rta maktabda ko’pxadlar ko’paytuvchilarga asosan quyidagi usullar bilan ajratiladi:
Umumiy ko’paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish:
Qisqa ko’paytirish va bo’lish formulalaridan foydalanish:
;
Qo’shiluvchilarni gruppalash:
Qo’shiluvchilarni yoyib yuborish:
Haqiqiy o’zgaruvchili va haqiqiy yoki kompleks keoffitsiyentli har qanday ko’pxad
Ko’rinishda tasvirlanadi, bu yerda - ko’pxadning ildizlari. Haqiqiy keoffitsiyentli ko’pxad haqiqiy keoffitsiyentli ko’pxad haqiqiy keoffitsiyentli birinchi va ikkinchi darajali ko’paytuvchilarga ajratiladi. Ratsional ko’paytuvchilarga ajralmaydigan ratsional keoffitsiyentli ko’pxadlar mavjud.
Agar butun keeofitsiyentli ko’pxad ratsional keoffitsiyentli ko’paytuvchilarga ajratilsa, u holda butun keoffitsiyentli ko’paytuvchilarga ham ajratiladi. Butun funksiyalarni cheksiz ko’paytuvchilarga ajratishni ham qarab chiqish mumkin:
|
|
Ratsional sonlar
|
Ratsional sonlar-musbat va manfiy barcha butun va kasr sonlar va nol soni. Har qanday ratsional sonni ikki butun sonning nisbati ko’rinishida tasvirlash mumkin, bu yerda va o’zaro tub sonlar va
Misollar: 1; -5; 0; 0,(3) sonlari-ratsional sonlar; Ratsional sonlar to’plami hamma yerda zich to’plam bo’ladi, ya’ni haqiqiy sonlar maydonida har qanday ikki va Ratsional sonlar orasida hamisha kamida bitta ratsional son, masalan, son topiladi (cheksiz ko’p son topilishi shundan kelib chiqadi). Ratsional sonlar to’plami sanoqli to’plam bo’lib, qo’shish(ayirish) va ko’paytirish operatsiyasiga nisbatan gruppadir.
Lat. Ratio-nisbatan, bu yerda butun sonlar nisbati sifatida tushuniladi.
|
|
Tenglamalar sistemasi
|
Tenglamalar sistemasi- n ta …, noma’lumli tenglamalar to’plami bo’lib, bu tenglamalar uchun noma’lumlarning sistemasiga kirgan barcha tenglamalarni qanoatlantiradigan qiymatlarini topish talab qilinadi. Noma’lumlarning izlanayotgan qiymatlarini sistemaga kirgan barcha tenglamalrni qanoatlantirdigan to’plamlari sistemaning yechimlari deb ataladi. Agar ikkita sistemadan birining har bir yechimi ikkinchisining yechimi bo’lsa va aksincha, ikkinchisining yechimi birinchisining yechimi bo’lsa va ikkala sistemani ayni bir sohada tekshirilsa, bu tenglamalar sistemasi teng kuchli sistemalar deb ataladi.
Har qanday tenglamalar sistemasi ko’rinishdagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’ladi, bu yerda k=1,2,3,….n.
funksiyalari larning ko’pxadlaridan iborat bo’lgan tenglamalar sistemasi algebraik sistemalar deb ataladi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari tenglamalar sistemasining eng sodda holi hisoblanadi.
Differensial tenglamalar sistemasi differensial tenglamalarning chekli yoki cheksiz to’plami bo’lib, bular uchun bu tenglamalarning har birini qanoatlantiradigan barcha funksiyalarni topish talab qilinadi.
|
|
Sanoq
|
Sanoq-ikki xil ma’noga ega bo’lgan matematik tushuncha. Birinchidan, Sanoq mazkur chekli to’plamda qancha element borligini aniqlashga imkon beruvchi amal deb tushuniladi;
Ikkinchidan, Sanoq-butun va kasr ratsional sonlar ustida bajariladigan dastlabki to’rt arifmetik amal to’plami, ya’ni Sanoq-hisoblashdir.
|
|
Teorema
|
Teorema-to’g’ri yoki noto’g’ri ekanligi isbot etish yo’li bilan aniqlanadigan matematik jumla.
Grekcha teorema-tomosha.
|
|
Tenglama
|
Tenglama(dastlabki tushunishda)-bitta yoki bir necha harflar noma’lum deb hisoblanadigan tenglikdir.
Matematikani o’rgana borish jarayonida noma’lumlar o’zgaruvchilar deb qaraladi va funksional nuqtayi nazardan ta’riflanadi: bir noma’lumli Tenglama aniqlanish sohalarining umumiy qismida tekshiriladigan ikki funksiyaning tengligidir. Ko’p noma’lumli Tenglama ham shunga o’xshash ta’riflanadi:
Tenglamaning yechimlari deb noma’lumlarning (argumentlarning) shunday qiymatlariga aytiladikki, bu qiymatlarda tekshirilayotgan funksiyalrning qiymatlari teng bo’ladi. Agar Tenglamada qatnashuvchi funksiyalar o’zgaruvchilarning (noma’lumlarning) ko’pxadlari bo’lsa, u holda Tenglama algebraik Tenglama deb ataladi. Bir noma’lumli Tenglamani ko’rinishda yozish mumkin ( ), bu yerda natural son n algebraik Tenglamaning darajasi deb ataladi. Har qanday albegraik Tenglama kamida bitta ildizga-kompleks, mavhum yoki haqiqiy ildizga ega bo’ladi. Darajasi to’rtdan yuqori (n>4) bo’lgan algebraik Tenglama umumiy ko’rinishda radikallarda yechilmaydi.
Misollar:
x-2=0-bir noma’lumli Tenglamadir, uning yechimi(ildizi) x=2 sondir;
x+2y=7-ikki noma’lumli Tenglamadir, uning cheksiz ko’p yechimlarining bir jufti x=1, y=3 sonlaridir.
Noma’lumlar olishi mumkin bo’lgan qiymatlarining qanday sohasida tekshirilishiga qarab berilgan Tenglama yechimga(chekli yoki cheksiz ko’p) ega bo’lishi ham , yechimga ega bo’lmasligi ham mumkin.
Masalan, tenglama ratsional sonlar maydonida yechimga ega emas(ya’ni yechilmaydi), lekin haqiqiy sonlar maydonida yechimga ega(yechiladi): , .
tenglama ratsional sonlar maydonida yechimga ega emas(ya’ni yechilmaydi), lekin kompleks sonlar maydonida yechimga ega:
, .
Agar tenglamada noma’lumlarning(o’zgaruvchilarning) transendent funksiyalari qatnashsa, bunday Tenglamalar transendent tenglamalar deb ataladi. Masalan,
Bu transendent Tenglamalarning oxirgisi haqiqiy sonlar maydonida hech qanday yechimga ega emas. Amalda transendent Tenglamalar taqribiy usullar bilan yechiladi:
Funksiyalrni qatorga yoyish, grafik usul, iteratsiyalar usuli va hokazo.
Agar ikki Tenglamadan birining har bir yechimi ikkinchisining yechimi bo’lsa va , aksincha ikkinchi Tenglamaning har bir yechimi birinchisining yechimi bo’lsa, yoki ikkala Tenglama yechimga ega bo’lamasa, u holda bu ikki Tenglama teng kuchli(ekvivalent) Tenglama deyiladi. Agar va funksiyalar-ratsional va hech bo’lmaganda ulardan biri ko’pxad bo’lmaganda = Tenglama kasr-ratsional Tenglama deb ataladi.
|
|
Butun sonlar
|
Butun sonlar ko’rinishidagi sonlar, bu yerda
Natural son yoki nol. Natural son tushunchasi predmetlarni sanash natijasida kiritlgan,
Musbat Butun sonlar predmetlarning sonini ham, qatorga tizilgan predmetlarning tartibini ham xarakterlaydi.
Manfiy Butun sonlar predmetlarning sonini hm, qatorga tizilgan predmetlarning tartibini ham xarakterlaydi.
Manfiy Butun sonlar algebraning rivojlanishi natijasida kiritlgan. Butun sonlar halqa hosil qiladi.
|
|
Sonlar nazariyasi
|
Sonlar nazariyasi-matematikaning butun sonlar, ratsional va algebraik sonlar xossalarini o’rganishga bag’ishlangan bo’limi. Sonlar nazariyasi ixtiyoriy sonlarning ratsional sonlarga yaqinlashish imkoniyatlaridan kelib chiqadigan xossalarini ham o’rganadi.Sonlar nazariyasi juda qadim davrlarda rivojlana boshlagan. Eramizdan oldingi VI asrdayoq Gretsiyada Pifagor maktabida butun sonlarning har xil xossalari(ularning bo’linishi, tub, murakkab va kvadrat sonlar sinflariga ajralishi), barkamol sonlarning strukturasi o’rganilagan tenglamaning butun sonlardagi yechimi berilgan.
Grek matematiklaridan Yevklid, Eratosfen, Diofantlarning ilmiy ishlari Sonlar nazariyasiga bag’ishlangan edi. Xitoyda kalendar tuzish munosabati bilan olimlardan Sun-tszi (II-VI asrlar), Sin Szyu-Shao (XIII asr) Sonlar nazariyasi bilan shug’ulllangan. Hindistonda tenglamalarning butun sonlar bilan ifodalangan yechimlari tadqiq etilgan(VII asrda Barmaguta, XII asrda Bxaskara).
Yevropda Sonlar nazariyasi Fermaning (XVII asr) ishlaridan boshlab intensiv rivojlanadi. Analitik Sonlar nazariyasiga asos solgann peterburglik matematik L.Eyler Sonlar nazariyasining rivojlanishiga katta xissa qo’shdi. Eylerning Goldbax bilan bo’lgan yozishmalarida bayon etilgan quyidagi uchta problemasidan ikkitasi hanuzgacha hal qilinmagan, birinchisini esa sovet matematigi akademik I.M.Vinogradov 1937 yili hal qilgan:
1). Har qanday tub n soni uchta tub sonning yig’indisidan iborat;
2). Juft son (n) ikkita tub snning yig’indisidan iborat;
3). Toq son ko’rinishdagi yig’indidan iborat(bu yerda ).
Sonlar nazariyasini qat’iy sistemaga solishda mashhur nemis matematigi Q.F.Gausning ishlari katta ta’sir ko’rsatdi; Gauss taqqoslamalar nazariyasini yaratdi, formlarning hozirgi zamon nazariyasiga asos soldi va trigonomatrik yig’indilarni o’rgandi.
Ulug’ rus matematigi P.L.Chebishev Sonlar nazariyasiga ulkan hissa qo’shdi; u tub sonlar to’g’risidagi bir qator eng yaxshi natijalarni qo’lga kiritdi.
Hozirgi vaqtda Sonlar nazariyasida turli xil sonlar ketma-ketligida tub sonarning qayerda qanday joylashish problemasini hal qilishda elementar va analitik metodlar qo’llaniladi; butun sonlar tushunchasining umumlashtirilishidan iborat bo’lgan algebraik sonlar ham o’rganiladi. Diofant tenglamalarini yechish va Diofant yaqinlashishlarini topish Sonlar nazariyasining alohida bo’liminining mavzuyidir.
|
|
Egizak tub sonlar
|
Agar ikkita p va q tub son ayirmasining absolyut qiymati 2 ga teng bo`lsa, bunday p va q tub sonlar egizak tub sonlar deyiladi. Egizak tub sonlar to’plami chekli yoki cheksiz to’plam bo’lishi haqidagi masala hanuzgacha hal qilinmay kelayapti. 3 va 5, 5 va 7, 11 va 13 va boshqalar kabi uncha katta bo’lmagan egizak tub sonlar bilan bir qatorda, ancha katta bo’lgan egizak tub sonlar ham ma’lum, masalan, 10016957 va 10016959.
|
.
|
O`zaro tub ko`phadlar
|
Agar f1, f2, … ,fk (k ≥2) ko`phadlarning eng katta umumiy bo`luvchisi nolinchi darajasi ko`phad bo`lsa, bu ko`phadlar o`zaro tub ko`phadlar deyiladi. O`.t.k. ning muhim xossalaridan biri: agar g ko`phad f1, f2, … ,fk ko`phadlarning har biri bilan o`zaro tub bo`lsa, u holda g ko`phad f1, f2, … ,fk ko`paytma bilan ham o`zaro tub bo`ladi.
|
|
O`zaro tub sonlar
|
1 va -1 dan boshqa umumiy bo`luvchiga ega bo`lmagan a1,a2, … , ak (k≥2) butun sonlar. Masalan, 18, 35 va 121 sonlari (bu yerda k=3) O`.t.s. dir, lekin 14,15 va 49 lar o`zaro tub sonlar emas. Chunki ular 1 va 1 bilan bir qatorda 7 va 7 dan iborat umumiy bo’luvchilarga ega. O`zaro tub sonlar ning asosiy xossalari :
agar a1,a2, … , ak sonlarning har biri b bilan o`zaro tub sonlar bo’lsa, u holda a1∙a2∙ … ∙ ak ko’paytma b bilan o’zaro tub son bo’ladi;
agar a1,a2, … , ak o`zaro tub sonlar bo’lsa, tenglikni qanoatlantiradigan x1,x2, … , xk butun sonlar mavjuddir.
O`zaro tub sonlar ning eng kichik umumiy bo’luvchisi ularning ko’paytmasi bilan bir xil.
|
4.
|
Vil`son alomati
|
(Vil’son teoremasi). Agar (mod m) bo`lsa, ya`ni son ga bo`linsa, bu holda va faqat shu holdagina sonni tub sondir.
|
5.
|
Chegirma
|
10. Yakkalangan maxsus z0 nuqtaga nisbatan analitik bo`lgan funksiyaning chegirmasi deb bu funksiyani shu nuqta atrofida Loran (q.) qatoriga yoyganda (z-z0)-1 ning koeffisientiga aytiladi.
Chegirmalarni bilish ba’zi hollarda kompleks tekislikdagi yopiq kontur bo’yicha olingan integrallarni hisoblashga imkon beradi.
|
6.
|
Ikkilik sanoq sistemasi
|
Asosi g=2 bo`lgan pozision sanoq sistemasi. Ikkilik sanoq sistemasi da faqat ikkita raqam: 0 va 1 bo`ladi, bu holda ikkita fizik holat bilan fizik modellash uchun juda qulaydir. Masalan, elektron hisoblash mashinalarida elektron lampa ikki holatdan birida bo’lishi mumkin: tayinli bir yo’nalishda tok o’tkazadi yoki o’tkazmaydi, bu esa mos ravishda o yoki 1 ni bildiradiyoki aksincha. Shuning uchun elektron hisoblash mashinalarining ko’pchiligida ikkilik sanoq sistemalaridan foydalaniladi.Amalada mashinadann foydalanmay og’zaki va yozib hisoblashda ikkilik sanoq sistemasi ishlaltish noqullaydir, chunki uncha katta bo’lmagan sonlar ham ikkilik sanoq sistemasi da juda ko’p xonali bo’ladi. Misol uchun 900 ni olaylik, ikkilik sanoq sistemasi da bu son 11 xonali son bo’lib yoziladi:11110101000.
|
7.
|
Bo`lish
|
Ko`paytirishga teskari bo`lgan amal, ya`ni berilgan ko`paytma va ko`paytuvchilardan bittasiga ko`ra boshqa ko`paytuvchini topishga imkon beradigan amal. Shunday qilib, a ni b ga bo’lish degani shunday x ni topish degan so’zki bx=a yoki xb=a bo’ladi.Berilgan a ko’paytma bo’linuvchi deyiladi, berilgan b ko’paytuvchi bo’luvchi deyiladi va izlanayotgan x ko’paytuvchi esa a ni 5 ga bo’lishdan chiqqan bo’linma yoki a ning b ga nisbati deyiladi.a ni b ga bo’lish amali 2 nuqta bilan (a:b) yoki gorizontal qiyshiq chiziq bilan (a/b) ko’rsatiladi. Butun sonlar halqasida bo’lish hamma vaqt ham bajarilavermaydi. Masalan, 12 soni 6 ga bo’linadi, ammo 5 ga bo’linmaydi. Agar butun a sonni butun b songa bo’lganda bo’linma butun son bo’lib chiqsa, u holda birinchi son ikkinchi songa butunlay (qoldiqsiz ) bo’linadi, yoki qisqacha a son b ga bo’linadi deyishadi ba va uni ko’pincha a:b shaklida yoziladi. Ratsionla sonlar maydonida “0”ga bo’lish e’tiborga olinmaganda bo’lish har doim ham bir qiymatli aniqlanadi, chunki bo’lsa, bu holda bo’lganda .
|
Do'stlaringiz bilan baham: |
