I bob. Olimning professionallashuvi va mas’uliyat uyg’unligi

Kurs ishining yangiligi: Sonlar nazariyasida uchraydigan asosiy atamalar bankini yaratish, tushunchalarni (o’zbek, rus, ingliz tillarida) to’plash.

1. 
   ALGEBRA VA SONLAR NAZARIYASI FANINI O’QITISH MAQSADI
   

Algebra fanining dastlabki tushunchalari eramizdan III asr oldin Misr va Yunonistonda paydo bo’lib, unda butun va musbat ratsional sonlar ustida arifmetik amallar o’rganilgan. Grek matematigi Diofant tenglamalarni butun sonlarda yechish masalalari bilan ham xuddi shu davrda shug’ullangan.

Algebra-matematikaning algebraik amallarni o’rganuvchi bo’limi. Eng soda algebraik amallar-natural sonlar va musbat ratsional sonlar ustidagi amallardir. Ularning barcha asosiy xossalari qadim zamonlarda ma’lum bo’lgan. Diofantdan keying algebraning rivojiga Xivada tug’ilgan va IX asrda yashagan matematik va astronom Muhammad ibn Muso al-Xorazmiyning “Al-jabr va al-muqobala” asarining ta’siri juda katta bo’lgan. “ Algabra” atamasi Xorazmiyning ana shu asarining nomidan olingan. Bu asarda birinchi va ikkinchi darajali algebraik tenglamalarni yechishda keltiriladigan masalalarni yechishning umumiy usullari berilgan.
XV asrning oxiriga kelib, shu davrgacha matematik asarlarda ishlatilgan algebraik amallarning uzundan-uzun so’zli ifodalari o’rniga hozir qabul qilingan “+” va “-” ishoralari, daraja, ildiz va qavs belgilari paydo bo’ldi.
F. Viet (1540-1603) tomonidan algebra ma’lum miqdorlarni harflar bilan belgilash tushunchasining kiritilishi mazkur fanning rivojlanishida hal qiluvchi omillardan biri bo’ldi. Sonlar ustida bajariladigan qo’shish va ko’paytirish qoidalarining umummlashtirilishi algebraik tenglamalar nazariyasining rivojlanishi uchun muhim ahamiyat kasb etdi. Algebrik tenglamalar va ularni yechish XIX asrning boshlarigacha algebra fanining asosiy mavzui bo’lib hisoblanadi.
Darajasi beshdan kichik bo’lmagan algebraik tenglamalarni kvadrat radikallarda yechish yoki yechilmasligini frantsuz matematigi E.Galua (1811-1832) narvegiyalik matematik N.Abel (1802-1829) va boshqa matematiklar tomonidan gruppalar deb ataluvchi aksiomatik usulda qurilgan tushuncha bilan bog’lashni algebrani ixtiyoriy tabiatli obektlar ustida bajariladigan amallar haqidagi fan deb qarashga olib keldi. Bu amallar uchun, qandaydir aksiomalar bajarilishi talab etiladi. Zamonaviy algebra fani ham xuddi shu ma’noda o’rganiladi.
XIX asrning o’rtalaridan boshlab, algebrada ixtiyoriy algebraik amallarni o’rganish masalalari paydo bo’ldi. XX asrning boshlarida D.Gilbert, E.Shteynits, E.Artin va E.Neter kabi matematiklar asarlari ta’sirida ixtiyoriy algebraik amallarni o’rganish albebraning asosiy masalasiga aylandi va hozir ham shunday bo’lib qolmoqda.
Shunday qilib, algebra avvalo aniq sonlar, so’ngra algebraik tenglamalar haqidagi fandan o’z rivojlanish yo’lini aksiomatik va ayniqsa abstrakt asosda qurayotgan zamonaviy fanga aylandi. Hozirgi zamon algebra fanining rivojlanishida N.G.Chebotarev (1894-1947), O.Yu. Shmidt (1891-1947), A.I.Maltsev (1909-1967), A.G.Kurosh (1908-1971), P.S.Novikov (1901-1975) kabi matematiklarning hissalari benihoya yuksakdir.
Algebraning hozirgi zamon matematikasidagi ahamiyati nihoyatda katta Umuman, hozirgi zamon matematikasi ko’p bo’limlarining “algebraiklashishi” kuchayib bormoqda. Matematika boshqa bo’limlari masalalarining algebra tiliga o’tkazilishi, ularni yechish uchun nihoyatda unumli bo’lgan formal algebraik hisoblashlarni tatbiq qilishga imkon beradi. Keyingi vaqtlarda matematikada bu yo’l bilan muhim ixtirolar qilingan(masalan, topologiyada). Algebraning fizikada, kibernetikada va matamatik iqtisodda muhim tadbiqlari bor.
“Algebra va sonlar nazariyasi” fani pedagogika oliy o‘quv yurtlarining fizika – matematika fakultetlarida o‘qitiladigan asosiy matematik fanlardan biri bo‘lib, umumiy o‘rta maktab, akademik litsey, kasb−hunar kollejlari matematik fanlarning Davlat Ta’lim Standartlarida ko‘rsatilgan maqsad, mazmun va vazifalaridan kelib chiqqan holda “5110100−matematika o’qitish metodikasi” yo’nalishi DTS asosida tuzilgan.
Algebra va sonlar nazariyasi zamonaviy matematikada ilmiy matematik izlanishlar olib borishda hamda matematikaning turli sohalarida ilmiy natijalar olishda muhim rol o’ynaydigan matematikaning ikkita muhim yo’nalishlaridan hisoblanadi (jumladan, geometriyada, topologiyada, differensial tenglamalarda, matematik fizika tenglamalarda va boshqa matematik yo’nalishlarda), hamda matematik hisoblashlarda, communication texnologiyalarda va kriptografiya masalalarini yechishda algebra va sonlar nazariyasining tadbiqlari muhim rol o’ynaydi. Algebraning o’zi esa zamonaviy fizika, kristallografiya, kvant mexanikasi, fazoviy fanlar va iqtisodiy fanlarga tadbiqlari o’ta muhim rol o’ynaydi.
Fanining asosiy maqsadi − algebraik tushunchalarni ilmiy asosda kiritish va o‘rganish hamda ularning ko‘plab tatbiqlarini ochib berish orqali tabiat va jamiyat rivojidagi o‘zgarishlarni to‘g‘ri tahlil etishga asos solish.
Fanning vazifasi − umumiy o‘rta, o‘rta maxsus, kasb−hunar ta’limi matematika fani asosiy tushunchalarini ilmiy, nazariy chuqurlashtirish bilan birga uzviy ravishda kengaytirish; algebra va sonlar nazariyasianing talabalar dunyoqarashini shakllantirishdagi ahamiyatini va atrof borliqni o`rganishdagi o`rnini ochib berish; talabalarga algebra va sonlar nazariyasi kursining nazariy asoslarini o`rgatish, ularda algebra va sonlar nazariyasi kursini o`zlashtirishlari uchun zarur ko`nikma va malakalarni shakllantirish; talabalarni algebra va sonlar nazariyasi kursi bilan tanishtirish; ularni o`quv qo`llanmalari va boshqa ilmiy adabiyotlar bilan mustaqil ishlashga o`rgatishdan iborat.
«Algebra va sonlar nazariyasi» fani «Matematik analiz», «Geometriya», «Matematik mantiq va algoritmlar nazariyasi», «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika», «Matematikadan praktikum» kabi asosiy matematik fanlar bilan o‘zaro bog‘liq. Mazkur fanning asosiy tushunchalari boshqa matematik fanlarni o‘zlashtirishga bevosita yordam beradi va boshqa matematik fanlarning asosiy tushunchalaridan unumli foydalanadi.
1.2. ALGEBRA VA SONLAR NAZARIYASI FANINING MAZMUNI
To’plamlar nazariyasi va matematik mantiq elementlari, to’plamlar va qism to’plamlar, to’plamlar ustida amallar, Eyler-Venn diagrammalari, To’plamlar ustida amallarning xossalari, to’plamlarning dekart ko’paytmasi, binar munosabatlar, binar munosabatlarning turlari, to’plamlarni ekvivalent sinflariga ajratish, akslantirishlar, tartib munosabati, mulohazalar va ular ustida amallar, mulohazalar algebrasining formulalari, predikatlar, kvantorlar, predikatli formulalar, mulohazalarni mantiqiy belgilar yordamida yozish, o’zaro teskari teoremalar, zaruriy va yetarli shartlar, teoremalarni isbotlash usullari.
Algebraik sistemalar, algebraik amal va algebralar, binar algebraik amallarning xossalari, qism algebralar, algebralarning gomomorfligi va izomorfligi, natural sonlar sistemasi, gruppalar, gruppaning sodda xossalari, halqa va uning sodda xossalari, qism halqa va halqa xarakteristikasi, gomomorf va izomorf halqalar, maydon va uning sodda xossalari, qism maydon, tartiblangan maydon, haqiqiy sonlar sistemasi, kompleks sonlar maydoni, kompleks sonning trigonometrik shakli va geometrik tasviri, kompleks sonlar ustida amallar, kompleks sondan ildiz chiqarish, ikki hadli tenglamalar.
Vektor fazolar, vektor fazo haqida tushuncha, qism fazolar, vektor sistemasining chiziqli bog’lanishi, vektor fazoning bazisi va o’lchovi, vektorlar sistemasining ekvivalentligi, izomorf chiziqli fazolar, vektorlar sistemasining chiziqli qobig’i, qism fazolarning yig’indisi va to’g’ri yig’indisi, chiziqli ko’pxilliklar, skalyar ko’paytmaga ega bo’lgan fazolar, ortogonal vektorlar sistemasi, ortogonallash jarayoni, qism fazoning ortogonal to’ldiruvchisi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi va matritsalar, chiziqli tenglamalar sistemasi, chiziqli tenglamalar sistemalarining natijalari, bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimlari, matritsa tushunchasi, pog’onali matritsalar, chiziqli tenglamalar sistemasining hamjoylilik alomati, noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usuli bilan chiziqli tenglamalar sistemasini yechish, bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari orasidagi munosabatlar, bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi.
Determinantlar, matritsalar ustida amallar, teskari matritsa, matritsali tenglamalar, o’rniga qo’yishlar gruppasi, juft va toq o’rniga qo’yishlar, kvadrat matritsa determinanti, determinantlarning asosiy xossalari, minor va algebraik to’ldiruvchilar, determinatni satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyish, matritsa minorlari, Kramer formulasi.
Chiziqli akslantirishlar va Yevklid fazolar, vektor fazolarning chiziqli akslantirishi, chiziqli akslantirishlar matritsasi, chiziqli operatorlar ustida amallar, vektorning turli bazislardagi koordinatalari orasidagi bog’lanish, chiziqli operatorlarning turli bazislardagi matritsalari orasidagi bog’lanish, o’zaro teskari chiziqli operatorlar chiziqli algebra, Yevklid fazolar, Yevklid fazolarning ortonormallangan bazisi, invariant qism fazolar, chiziqli operatorning xos qiymatlari va xos vektorlari, xarakteristik ko’pxadlar, sodda spektorli operatorlar.
Chiziqli tengsizliklar sistemasi, hamjoyli va hamjoyli bo’lmagan chiziqli tengsizliklar sistemalari, tengsizliklar sistemasining manfiymas yechimlari, chiziqli tenglamalar sistemasining manfiymas yechimlari, chiziqli programmalash, o’zaro ikki yoqlama masalalar, simpleks usul, simpleks jadvallar, simpleks usulning tatbiqlari.
Butun sonlar halqasida bo’linish nazariyasi, butun sonlar va ular ustida amallar, butun sonlar halqasida bo’linish munosabati va unung xossalari, qoldiqli bo’lish, Yevklid algoritmi va unung tadbiqi, sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi, o’zaro tub sonlar, eng katta umumiy bo’luvchining ba’zi xossalari, eng kichik umumiy bo’luvchi(karrali), uzluksiz kasrlar, munosib kasrlar va ularning xossalari, tub sonlar, arifmetikaning asosiy teoremasi, tub sonlar to’plami, Erotasfen g’alviri, sonli funksiyalar, natural son natural bo’luvchilari soni va yig’indisi, tub sonlarning taqsimot qonuni, tub sonlar taqsimotining asimptotik qonuni, Chebishev tengsizligi, sanoq sistemalari, sistematik sonlar ustida amallar, bir sanoq sistemasidan boshqa sanoq sistemasiga o’tish, arifmetik progressiyada tub sonlar.
Taqqoslamalar nazariyasining arifmetikaga tadbiqi, taqqoslamalar va ularning xossalari, chegirmalarning to’la sistemasi, chegirmalar sinflarining additiv gruppasi va halqasi, chegirmalarning keltirilgan sistemasi, modul bilan o’zaro tub bo’lgan chegirmalar sinflarining multiplikativ gruppasi, Eyler funksiyasi va uning xossalari, berilgan sonning barcha bo’luvchilari bo’yicha tuzulgan Eyler funksiyalari qiymatlarining yig’indisi, Eyler va Ferma teoremalari, bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslamalar, bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslamalarni yechish usullari, tub modulli yuqori darajali taqqoslamalar, kvadratik chegirma va kvadratik chegirmamaslar, toq tub modulli ikkinchi darajali taqqoslamalarni yechish, Lejandr simvoli, boshlang’ich ildizlar va ko’rsatkichga tegishli sonlar, ko’rsatkichka tegishli sinflarning mavjudligi va soni, tub modul bo’yicha boshlang’ich ildizning mavjudligi, indekslar va ularning xossalari, indekslar jadvali, indekslar yordamida taqqoslamalarni yechish, taqqoslamalar nazariyasining arifmetikaga tadbiqlari.
Halqa, halqaning ta’rifi, halqaga misollar, halqaning xarakteristikasi, butunlik sohasi, butunlik sohasida aniqlangan bo’linish munosabatinintg xossalari, gomomorf va izomorf halqalar, halqa ideallari, ideallarning ba’zi bir sodda xossalari, ideal bo’yicha taqqoslamalar va chegirmalar sinflari, faktor-halqalar, epimorfizm haqida teorema, kommutativ halqada bo’linish munosabati, butunlik sohasining tub va murakkab elementlari, bosh ideallar halqasi, Yevklid halqasi, butunlik sohasining nisbatlar maydoni.
Bir noma’lumli ko’pxadlar, halqaning oddiy transtsendent kengaytmasi, ko’pxadlar ustida amallar, ko’pxadlarning qoldiqli bo’linishi, ko’pxad ildizlari, ko’pxadni ikkihadga bo’lish, ko’pxadlarning bo’linishi, Yevklid algoritmi, eng katta umumiy bo’luvchi, keltiriladigan va keltirilmaydigan ko’pxadlar, ko’pxad hosilasi, Gorner sxemasi, karrali ko’paytuvchilarni ajratish.
Ko’p noma’lumli ko’pxadlar, ko’p noma’lumli ko’pxadlar halqasi, butunlik sohasining trastsendent kengaytmasi, ko’p noma’lumli ko’pxadni leksikografik tartibda yozish, ratsional kasrlar maydoni, ko’p noma’lumli ko’pxadlarni keltirilmaydigan ko’pxadlar ko’paytmasi ko’rinishida yozish, simmetrik ko’pxadlar, kasrning maxrajidagi irrotsionallikni yoqotish, resultant, sistemani noma’lumlarni yo’qotish usuli bilan yechish, ko’pxad ildizining mavjudligi.
Kompleks va haqiqiy sonlar maydoni ustidagi ko’pxadlar, ko’pxad bosh hadining moduli, algebraning asosiy teoremasi, ko’pxadni chiziqli ko’paytuvchilarga yoyish, kompleks sonlar maydonining algebraik yopiqligi, haqiqiy sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan ko’pxadlar, haqiqiy koeffitsientli ko’pxad mavhum ildizlarining qo’shmaliligi, uchinchi darajali tenglamalar, to’rtinchi darajali tenglamalar.
Ratsional sonlar maydoni ustida ko’pxadlar va algebraik sonlar, butun koeffitsientli ko’pxadning butun va ratsional ildizlari, Eyzenshteynning ko’pxadlar uchun keltirilmaslik alomati, algebraik va transtsendent sonlar, maydonning oddiy algebraik kengaytmasini qurish, maydonning chekli kengaytmasi, maydonning murakkab algebraik kengaytmasi, algebraik sonlar maydoni va uning algebraik yopiqligi, tenglamalarning algebraik sonlarda yechilish tushunchasi, uchinchi darajali tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilish sharti, tenglamasini kvadrat radikallarda yechib bo’lmaydigan geometrik masalalar.

II BOB. “ALGRBRA VA SONLAR NAZARIYASI”NING ASOSIY TUSHUNCHALARI

2.1 “ALGRBRA VA SONLAR NAZARIYASI” FANIDA UCHRAYDIGAN ASOSIY ATAMALAR (O’ZBEK, RUS, INGLIZ TILLARIDA)

	Aksioma	Biror matematik nazariya yaratishda boshlang’ich asos deb qaraladigan va isbotsiz qabul qilinadigan jumla. Matematik nazariyani asoslashning mantiqiy poydevori hisoblangan aksiomalar sistemasi hamma vaqt ham tugallangan va takomollashgan bo’lmaydi, balki aksiomalarning o’zi kabi o’zgarib va takomillashib turadi. Aksiomalar sistemasi ziddiyatsiz, to’liq va erkin bo’lishi kerak. Misollar: Yevklidning parallellik haqidagi aksiomasi (Pleyfer aksiomasi: berilgan to’g’ri chiziqda yotmagan nuqta orqali nuqta va to’g’ri chiziq bilan aniqlanadigan tekislikda to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan bittadan ortiq bo’lmagan to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin; 2. Arximed aksiomasi 3. Lobachevskiy aksiomasi 4. Dedekint aksiomasi. Har bir geometriya (Affin, Evklid, Proektiv va boshqa geometriyalar) uchun o’zining aksiomalar sistemasi mavjuddir. Ikkinchi tomondan, har bir geometriya yana o’zining almashtirishlar gruppasi bilan ham yoki bu geometriya fazosining defferentsial-geometrik xosslari bilan ham aniqlanishi mumkin. Geometriya, Arifmetika, ehtimollar nazariyasi va boshqa matematik fanlar aksiomatik usulda tuzilishi mumkin. Aksioma postolat deb ham ataladi. Aksioma grekcha aξіωμa – hurmatga sazovor bo’lgan shubhasiz jumla; hurmat, ehtirom, obro’ degan ma’nolarni anglatadi.
	Assosiativlik qonuni	Binar operatsiyasi bo`ysunadigan qonun. Agar binar amalini ko`paytirish deb tushunilsa, u holda A.q. a(b c) = (a b)c ko`rinishda bo`ladi. Assosiativlik qonuni ko’pincha gruppalash qonuni deb ataladi. Bu nom lotincha association “birlashtirish” degan so’zdan kelib chiqqan. Assosiativlik qonuni bo’ysunuvchi amallarga sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari, matritsalarni qo’shish va ko’paytirish, o’rniga qo’yishlarni ko’paytirish amallarini misol qilib ko’rsatish mumkin. Vektor ko’paytma Assosiativlik qonuniga bo’ysunmaydi.
	Distributivlik qonuni	Ayni bir to`plamda aniqlangan ikkita binar operatsiyasini bir-biriga bog`laydigan qonun. Agar bir operasiyani ko`paytirish, ikkinchisini qo`shish deb qaralsa, u holda, Distributivlik qonuniga bunday ko`rinishda bo`ladi: