Topshiriqlar agarda bo’lsa, lar hisoblansin

TOPSHIRIQLAR

1. 
   Agarda bo’lsa, lar hisoblansin.
   

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

2. 
   va to’plamlar uchun bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli ekanligi ko’rsatilsin.
   

bo’lsa, ekanligini ko’rsatishimiz kerak.

1. 
   Buning uchun avval bo’lsa, bo’lishini ko’rsatamiz:
   

• 
  bo’lsin. ekanligidan va kelib chiqadi. Bundan ning har bir elementi ga tegishli ekani kelib chiqadi ya’ni .
  
• 
  bo’lsin. ekanligidan bo’lishi kelib chiqadi. Demak, to’plamning har bir elementi to’plamga ham tegishli bo’ladi ya’ni .
  

Bundan, hosil bo’ladi.

2. 
   Endi esa ekanligidan kelib chiqishini ko’rsatamiz:
   

va to’plamlarning umumiy elementlari ya’ni kesishmasi to’plamga tegishli bo’lgani uchun to’plamning har bir elementi to’plamga ham tegishli bo’ladi. Bu ekanini bildiradi.

Shunday qilib bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli ekani kelib chiqdi.

3. 
   to’plam o’nta elementdan iborat bo’lsa, nechta elementdan iborat bo’ladi?
   

to’plam o’nta elementdan iborat bo’lsa, ya’ni to’plamning barcha qism to’plamlari soni ta elementdan iborat bo’ladi.

4. 
   bo’lsa, nechta elementdan iborat bo’ladi?
   

bo’lsa, ya’ni n ta elementga ega bo’lsa, ta elementdan iborat bo’ladi.

5. 
   va to’plamlar to’plamning chekli qism to’plamlari bo’lsa, quyidagilar isbotlansin:
   

1. 
   Agarda bo’lsa, ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   .
   

a)

bo’lganligidan ya’ni va to’plamlar umumiy elementlarga ega emasligidan ularning birlashmasida va to’plamlarning har bir elementi qatnashadi (takroriy elementlar bo’lmaydi). Shuning uchun tenglik ham o’rinli bo’ladi.

b)

va ekanligidan kelib chiqadi. Bundan esa o’rinli bo’lishi hosil bo’ladi.

c)

va to’plamlarning birlashmasi, shu to’plamlarning har bir elementidan iborat bo’ladi, agar ikkita to’plam ham bir xil elementga ega bo’ladigan bo’lsa ularning birlashmasida bu element bir marta qatnashadi. Shu sababdan ham birlashma elementlari sonini hisoblashda va to’plamlar elementlari sonining yig’indisidan ularning umumiy elementlari sonini ayirish kerak ya’ni

6. 
   Quyida keltirilgan munosabatlar o’rinli bo’lsa, isbotini keltiring, aks holda o’rinli emasligini tasdiqlovchi misol keltiramiz:
   

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   Agar bo’lsa, bo’ladi.
   

1. 
   
   

Tenglikni isbotlash uchun va shartlar bajarilishini tekshirishimiz kerak.

• 
  o’rinli ekanini ko’rsatamiz.
  

bo’lsin. Bundan va hosil bo’ladi. ekanidan esa va kelib chiqadi. Demak, . Bundan va ni hosil qilamiz. Shunday qilib, va bo’ladi.

• 
  Endi bo’lishini ko’rsatamiz.
  

bo’lsin. Bundan va hosil bo’ladi. ekanligidan va kelib chiqadi. Endi esa va dan kelib chiqadi. Demak, bo’ldi. va dan hosil bo’ladi. Bundan esa kelib chiqadi. Shunday qilib, hosil bo’ladi.

Demak, ekanligi isbotlandi.

2. 
   
   

Tenglikni isbotlash uchun va shartlar bajarilishini tekshirishimiz kerak.

• 
  ni tekshiramiz.
  

bo’lsin. Bundan va bo’lishi kelib chiqadi. uchun va hosil bo’ladi. ekanidan kelib chiqadi.

Yuqoridagi shart bajarilmaganligidan munosabat o’rinli emas. Misol:

Birinchi nimaga teng ekanligini aniqlaymiz:

Endi tenglikning o’ng tomoni ya’ni ning qiymatini aniqlaymiz:

Yuqoridagi ikkita tenglik o’razo teng bo’lmaganidan ham ko’rinib turibdiki, munosabat o’rinli emas.

3. 
   
   

Tenglikni isbotlash uchun va shartlar bajarilishini tekshirishimiz kerak.

• 
  ni tekshiramiz.
  

bo’lsin. Bundan bo’lishi kelib chiqadi va hamda hosil bo’ladi. Demak, bo’ladi va kelib chiqadi. Bu yuqoridagi shartni qanoatlantirmaydi. Shunday qilib, munosabat o’rinli emasligi kelib chiqadi.

Bunga oddiy bir misol keltiramiz:

deb olaylik.

Birinchi bo’lib ning qiymatini aniqlaymiz:

Endi esa ning qiymatini topaylik:

Bulardan ko’rinib turibdiki, munosabat noto’g’ri.

4. 
   
   

Tenglikni isbotlash uchun va shartlar bajarilishini tekshirishimiz kerak.

• 
  ni tekshiramiz.
  

bo’lsin. Unda bo’lib, bo’ladi. bo’lishidan esa yoki ekanligini topamiz.

yoki .

Demak, ya’ni bo’ladi va shart bajariladi.

• 
  Endi shartni tekshiramiz. bo’lsin. Unda yoki bo’ladi. yoki bo’ladi. Bundan kelib chiqadi.
  

Demak, ya’ni bo’ladi.

Bu munosabatlardan tenglik o’rinli ekani kelib chiqadi.

5. 
   Agar bo’lsa, bo’ladi
   

tenglikning ikki tomoniga C ni simmetrik ko’paytmasini qo’shamiz ya’ni . Simmetrik ko’paytma uchun assotsiativlik xossasi o’rinli ekanligidan foydalanamiz:

va

hosil bo’ladi.

Demak, bo’ladi.

7. 
   Agar bo’lsa, to’plam qanday elementlardan iborat?
   

8. 
   Agar bo’lsa, to’plam qanday elementlardan iborat?
   

9. 
   Agar bo’lsa, to’plam qanday elementlardan iborat?
   

10. 
    Agar bo’lsa, (simmetrik ayirma) to’plam qanday elementlardan iborat?
    

11. 
    Quyidagi tengliklardan qaysi biri noto’g’ri?
    

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

1. 
   tenglik to’g’ri yoki noto’g’ri ekanini aniqlash uchun va shartlar bajarilishi yoki yo’qligini ko’rishimiz kerak:
   

• 
  shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan kelib chiqadi. Demak, o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, shart bajariladi.

• 
  Endi shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan kelib chiqadi. Demak, o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, shart bajariladi.

Demak, berilgan tenglik to’g’ri.

2. 
   tenglik to’g’ri yoki noto’g’ri ekanini aniqlash uchun va shartlar bajarilishi yoki yo’qligini ko’rishimiz kerak:
   

• 
  shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan va kelib chiqadi. dan esa yoki kelib chiqadi. Demak, yoki o’rinli bo’ladi. Bu esa ni bildiradi. Bundan shart bajarilmasligi hamda bu shart bajarilmaganligidan tenglik noto’g’ri ekanligi kelib chiqadi.

3. 
   tenglik to’g’ri yoki noto’g’ri ekanini aniqlashda to’plamlar uchun birlashma va kesishma amallari uchun assotsiativlik xossasi o’rinli ekanidan foydalanamiz:
   

Bundan yuqoridagi tenglik to’plamga teng bo’lishi kelib chiqadi.

12. 
    Quyidagi tengliklardan qaysi biri noto’g’ri?
    

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

1. 
   tenglik to’g’ri yoki noto’g’ri ekanini aniqlash uchun va shartlar bajarilishi yoki yo’qligini ko’rishimiz kerak:
   

• 
  shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan kelib chiqadi. Demak, hosil bo’ldi. Bundan esa shart bajarilmasligi hosil bo’ladi va tenglik ham noto’g’ri.

2. 
   tenglik to’g’ri bo’ladi. Chunki to’plamlarning kesishmalari uchun kommutativlik xossasi o’rinli.
   
3. 
   tenglik to’g’ri yoki noto’g’ri ekanini aniqlash uchun va shartlar bajarilishi yoki yo’qligini ko’rishimiz kerak:
   

• 
  shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan kelib chiqadi. dan esa yoki hosil bo’ladi. Demak, va shart o’rinli.

• 
  shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan ham o’rinli ekani kelib chiqadi. va dan kelib chiqadi. Demak, shart bajariladi.

Shunday qilib tenglik to’g’ri bo’ladi.

13. 
    Quyidagi tengliklardan qaysi biri noto’g’ri?
    

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

1. 
   tenglik to’g’ri yoki noto’g’ri ekanini aniqlash uchun va shartlar bajarilishi yoki yo’qligini ko’rishimiz kerak:
   

• 
  shartni tekshiramiz:
  

bo’lsin. Bundan kelib chiqadi. dan esa yoki hosil bo’ladi. Bundan esa shart bajarilmasligi kelib chiqadi. Demak, tenglik ham noto’g’ri.

2. 
   tenglik to’g’ri. Chunki to’plamlar orasidagi birlashma amali uchun kommutativlik xossasi o’rinli.
   
3. 
   tenglik ham o’rinli bo’ladi. Negaki, to’plamga faqat to’plamda qatnashgan elementlar kiradi, ularning to’plam bilan kesishmasi esa bo’sh to’plam bo’ladi.
   

14. 
    Agar bo’lsa, to’plam qanday elementlardan iborat?
    

1. 
   {1,2,6,7,8};
   
2. 
   {6,7};
   
3. 
   {7,9};
   
4. 
   {1,2,3}.
   

.

15. 
    O’quvchining 12 tasi voleybol seksiyasiga, 15 tasi basketbol seksiyasiga, 8 kishi esa ikkala seksiyaga ham qatnashadi. Sinfdagi necha o’quvchi hech bir seksiyaga qatnashmaydi?
    

Avval sinfdagi barcha seksiyaga qatnashuvchi o’quvchilarning sonini aniqlaymiz:

Buning uchun sinfdagi barcha o’quvchilar to’plamini bilan, voleybol seksiyasiga qatnashuvchi o’quvchilar to’plamini bilan, basketbol seksiyasiga qatnashuvchi o’quvchilar to’plamini bilan va hech bir seksiyaga qatnashmaydigan o’quvchilar to’plamini bilan belgilaylik. Bunda har ikkala seksiyaga ham qatnashuvchi o’quvchilar to’plami ga teng bo’ladi. Voleybol va basketbol seksiyalariga qatnashuvchi umumiy o’quvchilar to’plami ga teng.

ni topamiz:

Sinfdagi hech bir seksiyaga qatnashmaydigan o’quvchilar sonini aniqlash uchun ni hisoblaymiz:

16. 
    O’quvchidan 18 tasi matematikaga, 17 tasi esa fizikaga qiziqadi. Ikkala fanga ham qiziqadigan o’quvchilar soni nechta bo’lishi mumkin? (Ko’rsatma: ikkala fanga ham qiziqmaydigan o’quvchilar soni ).
    

Barcha o’quvchilar to’plamini bilan, matematikaga qiziquvchi o’quvchilar to’plamini bilan, fizikaga qiziquvchi o’quvchilar to’plamini bilan va ikkala fanga ham qiziqmaydigan o’quvchilar to’plamini bilan belgilaylik. Bunda har ikkala fanga ham qiziquvchi o’quvchilar to’plami ga teng bo’ladi. Matematika va fizika fanlariga qiziquvchi umumiy o’quvchilar to’plami ga teng.

Bundan topamiz:

Demak, bo’ladi.

17. 
    100 odamdan iborat sayyohlar guruhida 10 kishi nemis tilini ham, fransuz tilini ham bilmaydi, 75 tasi nemis tilini, 83 tasi esa fransuz tilini biladi. Ikkala tilni ham biladigan sayyohlar sonini toping.
    

Quyidagicha belgilash kiritaylik:

(sayyohlarning umumiy soni);

(nemis tilini biladigan sayyohlar soni);

(fransuz tilini biladigan sayyohlar soni);

(ikkala tilni ham bilmaydigan sayyohlar soni);

– ham nemis tilini ham fransuz tilini biladigan o’quvchilar soni (topish kerak)

Ikkala tilni ham biladigan sayyohlar soni taga teng.

18. 
    26 o‘quvchining 14 tasi shaxmatga, 16 tasi shashkaga qiziqadi. Ham shashkaga, ham shaxmatga qiziqadigan o‘quvchilar nechta?
    

Quyidagicha belgilash kiritaylik:

(o’quvchilarning umumiy soni);

(shaxmatga qiziqadigan o’quvchilar soni);

(shashkaga qiziqadigan o’quvchilar soni);

– ham shaxmatga ham shashkaga qiziqadigan o’quvchilar soni (topish kerak)

Demak, ham shaxmatga ham shashkaga qiziqadigan o’quvchilar soni taga teng.

1-misol. Ushbu to‘plamni olaylik. Bu to‘plamda quyidagi binar munosabatlarini turlarini aniqlang :

1. 
   munosabat: , ayirmaning 3 ga qoldiqsiz bo‘linishini ifodalasin:
   

Refleksivlik: bu shart bajarilishi uchun o’rinli bo’lishi kerak. har doim ga teng bo’ladi va ga qoldiqsiz bo’linadi. Bundan to’plam refleksivligi kelib chiqadi - ;

Simmetriklik: bu shart bajarilishi uchun hamda o’rinli bo’lishi kerak. Bu shart to’plamning har bir elementi uchun o’rinli bo’ladi. shuning uchun to’plam simmetrik - ;

Tranzitivlik: bu shart bajarilishi uchun va lardan kelib chiqishi kerak. Bu shart ham o’rinli bo’ladi - ;

Ekvivalentlik: bu shart o’rinli bo’lishi uchun refleksivlik, simmetriklik, tranzitivlik shartlarining barchasi bir vaqtda bajarilishi kerak. Demak, bu misolimizda to’plam ekvivalent - .

2. 
   munosabat barcha lar uchun ning dan kichik yoki tengligini ifodalasin:
   

Refleksivlik: bu shart bajarilishi uchun o’rinli bo’lishi kerak. Bu shart o’rinli bo’lganligi uchun to’plam refleksiv bo’ladi - ;

Simmetriklik: bu shart bajarilishi uchun hamda o’rinli bo’lishi kerak. Lekin bu shart to’plamning har bir elementi uchun o’rinli bo’lmaydi. shuning uchun to’plam simmetrik emas - ;

Tranzitivlik: bu shart bajarilishi uchun va lardan kelib chiqishi kerak. Bu shart ham o’rinli bo’ladi - ;

Ekvivalentlik: bu shart o’rinli bo’lishi uchun refleksivlik, simmetriklik, tranzitivlik shartlarining barchasi bir vaqtda bajarilishi kerak. Lekin, bu misolimizda simmetriklik sharti bajarilmaganligi uchun to’plam ekvivalent emas - .

3. 
   munosabat barcha lar uchun ning ga qoldiqsiz bo‘linishini ifodalasin:
   

Refleksivlik: bu shart bajarilishi uchun o’rinli bo’lishi kerak. Bu shart o’rinli bo’lganligi uchun to’plam refleksiv bo’ladi - ;

Simmetriklik: bu shart bajarilishi uchun hamda o’rinli bo’lishi kerak. Lekin bu shart to’plamning har bir elementi uchun o’rinli bo’lmaydi, faqatgina da o’rinli. Shuning uchun to’plam simmetrik emas - . – to’plam antisimmetrik;

Tranzitivlik: bu shart bajarilishi uchun va lardan kelib chiqishi kerak. Bu shart qiymatlar uchun o’rinli emas. Shuning uchun to’plam tranzitiv emas - ;

Ekvivalentlik: bu shart o’rinli bo’lishi uchun refleksivlik, simmetriklik, tranzitivlik shartlarining barchasi bir vaqtda bajarilishi kerak. Lekin, bu misolimizda simmetriklik hamda tranzitivlik shartlari bajarilmaganligi uchun to’plam ekvivalent emas - .

4. 
   munosabat barcha lar uchun ko‘paytmaning manfiy emasligini ifodalasin:
   

Refleksivlik: bu shart bajarilishi uchun o’rinli bo’lishi kerak. Bu shart o’rinli bo’lganligi uchun to’plam refleksiv bo’ladi - ;

Simmetriklik: bu shart bajarilishi uchun hamda o’rinli bo’lishi kerak. Ikkita ko’paytuvchining o’rni almashsa ham natija bir xil bo’ladi ya’ni bo’lsa, ham o’rinli bo’ladi. Shuning uchun to’plam simmetrik - ;

Tranzitivlik: bu shart bajarilishi uchun va lardan kelib chiqishi kerak. Bu shart o’rinli emasligini ko’rsatish uchun 1 ta misol keltiramiz: va bo’lsin, bundan kelib chiqadi. Bu esa shartni qanoatlantirmaydi. Shuning uchun to’plam tranzitiv emas - ;

Ekvivalentlik: bu shart o’rinli bo’lishi uchun refleksivlik, simmetriklik, tranzitivlik shartlarining barchasi bir vaqtda bajarilishi kerak. Lekin, bu misolimizda tranzitivlik sharti bajarilmaganligi uchun to’plam ekvivalent emas - .

5. 
   munosabat barcha lar uchun ning kvadrati ning kvadratiga teng ekanligini ifodalasin:
   

Refleksivlik: bu shart bajarilishi uchun o’rinli bo’lishi kerak. Bu shart o’rinli bo’lganligi uchun to’plam refleksiv bo’ladi - ;

Simmetriklik: bu shart bajarilishi uchun hamda o’rinli bo’lishi kerak. Ikkita sonning o’rni almashsa ham ularning kvadrati bir xil bo’ladi ya’ni bo’lsa, ham o’rinli bo’ladi. Shuning uchun to’plam simmetrik - ;

Tranzitivlik: bu shart bajarilishi uchun va lardan kelib chiqishi kerak. Bu shart da o’rinli bo’lmaydi. Shuning uchun to’plam tranzitiv emas - ;

Ekvivalentlik: bu shart o’rinli bo’lishi uchun refleksivlik, simmetriklik, tranzitivlik shartlarining barchasi bir vaqtda bajarilishi kerak. Lekin, bu misolimizda tranzitivlik sharti bajarilmaganligi uchun to’plam ekvivalent emas - .

2-misol. Ikki elementli to’plamda nechta irrefleksiv binar munosabat mavjud?

Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun ikki elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi. Bulardan 12 tasi irrefleksiv munosabatlardir.

4-misol. Bir elementli to’plamda nechta irrefleksiv binar munosabat mavjud?

Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun bir elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi. Bulardan 1 tasi irrefleksiv munosabatdir.
10-misol. Ikki elementli to’plamda nechta binar munosabat mavjud?
Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun ikki elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi.
11-misol. Bir elementli to’plamda nechta binar munosabat mavjud?
Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun bir elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi.
12-misol. Uch elementli to’plamda nechta binar munosabat mavjud?
Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun uch elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi.
13-misol. Ikki elementli to’plamda nechta refleksiv binar munosabat mavjud?
Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun ikki elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi. Bulardan 4 tasi refleksiv munosabatlardir.
15-misol. Bir elementli to’plamda nechta refleksiv binar munosabat mavjud?
Binar munosabat biror to’plamning o’zini o’ziga dekart ko’paytmasining qism to’plamlaridan tuzilgan bo’lganligi uchun bir elementli to’plamda dekart ko’paytma elementlari soni - , binar munosabatlari soni - bo’ladi. Bulardan 1 tasi refleksiv munosabatdir.

Tojiyev Sunnat AX-1901